На ребре AB правильной треугольной пирамиды SABC с основанием ABC отмечена точка К, причём АК = 25, BK = 5. Через точку К
проведена плоскость а, параллельная плоскости SBC.
а) Докажите, что точка пересечения плоскости сечения "а" с высотой
AM основания ABC равноудалена от точки M и точки 0, в которую проектируется вершина пирамиды.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABC плоскостью "а", если высота пирамиды равна 8.​

1. В условии перепутаны обозначения. Исправим их так:

Дано: треугольник ABC и треугольник CBD, AB = CD, ∠AВC = ∠DСВ. Докажите, что треугольники ABC и CBD равны.

AB = CD, ∠AВC = ∠DСВ по условию, ВС - общая сторона для треугольников АВС и CDB, значит ΔАВС = ΔCDB по двум сторонам и углу между ними.

2. В условии опечатка, очевидно, что надо доказать равенство треугольников АВС и ADC.

∠ BAC = ∠DAC, ∠BCA = ∠DCA по условию, АС - общая сторона для треугольников АВС и ADC, значит эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

3. К сожалению, в условии задачи перепутаны все обозначения. Исправим их так:

Дано: треугольник ABC и треугольник CBD, AB = CD, угол ABС равен углу BСD. Докажите, что AС = ВD.

АВ = CD по условию, ∠ABС = ∠BСD поусловию, ВС - общая сторона для треугольников ABС и DСВ, значит эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Значит АВ = CD.

4. Отрезки АВ и CD равны, значит равны и их половины:

АМ = ВМ = СМ = DМ, ∠AMD = ∠СМВ как вертикальные, значит

ΔAMD = ΔСМВ по двум сторонам и углу между ними, ⇒ AD = BC.

5. СО = OD по условию, ∠ACO = ∠BDO = 90° по условию, ∠АОС = ∠BOD как вертикальные, ⇒ ΔАОС = ΔBOD по стороне и двум прилежащим к ней углам.

6. Углы при основании равнобедренного треугольника равны:

∠К = ∠М = 47°.

Сумма углов треугольника 180°. Значит

∠L = 180° - (∠K + ∠M) = 180° - (47° + 47°) = 180° - 94° = 86°

Подробнее - на -

Пусть A и B — вершины квадрата ABCD, лежащие на окружности радиуса R и центром O, D и C — на касательной, проведённой к окружности в точке K, M — точка пересечения окружности со стороной AD. Поскольку BAM = 90o, то MB — диаметр окружности, а т.к. OK — средняя линия трапеции MDCB, то = OK.

Обозначим через x сторону квадрата. Из уравнения = R находим, что MD = 2R - x. Тогда

По тереме Пифагора

Из этого уравнения находим, что x = . Следовательно, диагональ квадрата равна .