На рисунке 162 луч BD является биссектрисой угла ABC, а луч DB является
биссектрисой угла ADC. Докажите, что
треугольники ABD и CBD равны.​

Проведем из этой точки к прямой перпендикуляр, обозначим его у (он и будет нашим искомым расстоянием)
проекцию одной прямой обозначим 9х, второй - 16 х
имеем два прямоугольных треугольника с общим катетом
по теореме Пифагора верно равенство:
y^2 = 15^2 - (9x)2      это для первого треугольника
y^2 = 20^2 - (16x)^2           это для второго треугольника 
приравниваем 15^2 - (9x)^2 = 20^2 - (16x)^2
225 - 81x^2 = 400 - 256x^2
175 x^2 = 175
x^2 = 175/175 = 1
x = √1 = 1
теперь по т. Пифагора находим расстояние от точки до прямой:
y = √(15^2 - (9x)^2) = √(225 - 81) = √144 = 12 см

Сторона угла ВЕ равна стороне угла ВК и равна 2*Х. Сторона угла ВА равна стороне угла ВС и равна 5*Х. Угол В у треугольников АВС и ЕВК общий, значит мы имеем подобные треугольники. В подобных треугольниках соответствцющие углы равны. Значит <BEK=<BAC, а <BKE=BCA. эти углы - соответственные при прямых ЕК и АС и секущих ВА и ВС. Значит прямые ЕК и АС - параллельны. Прямая АС лежит в плоскости  α, значит ЕК параллельна плоскости α.
Итак, ЕК||АС.Имеем два подобных тр-ка: ЕВК и АВС с коэффициентом подобия 2/5. Тогда ЕК/АС = 2/5. ЕК=4, Значит АС=10см.