Трапеция прямоугольная. Следовательно, тупой угол в ней противолежит прямому, и оба этих угла соединяются диагональю. Диагональ равна боковой стороне - значит, диагональ и боковая сторона трапеции являются боковыми сторонами равнобедренного треугольника, основанием которого служит большее основание трапеции. По свойству равнобедренного треугольника высота является медианой, т.е. делит основание пополам. Это означает, что большее основание в 2 раза больше меньшего основания трапеции. Тогда средняя линия трапеции в (2 + 1)/2 = 1,5 раза больше меньшего основания трапеции.
Следовательно, искомое соотношение средней линии трапеции к большему ее основанию равно 1,5/2 = 3:4
ΔАВС: АВ=ВС, АС=48, R=25 Радиус описанной окружности R=AC/2sin B=48/2sin B=24/sin B sin B=24/R=24/25 cos² B=1-sin² B=1-(24/25)²=49/625 cos B=7/25 По теореме косинусов АС²=2АВ²-2АВ²cos B=2АВ²(1-cos B) АВ²=АС²/2(1-cos B)=48²/2(1-7/25)=1600 АВ=40 Радиус вписанной окружности r=АС/2 * √(2АВ-АС)/(2АВ+АС)=48/2 * √(80-48)/(80+48)=24*√1/4=12 Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане ВН (они совпадают), проведенных к основанию. ВН=√(АВ²-(АС/2)²)=√40²-24²=√1024=32 Расстояние между центрами равно разности расстояний от центров окружностей до вершины треугольника: 25-(32-12)=5 ответ: 5
Следовательно, искомое соотношение средней линии трапеции к большему ее основанию равно 1,5/2 = 3:4
ответ: 3:4
Радиус описанной окружности R=AC/2sin B=48/2sin B=24/sin B
sin B=24/R=24/25
cos² B=1-sin² B=1-(24/25)²=49/625
cos B=7/25
По теореме косинусов АС²=2АВ²-2АВ²cos B=2АВ²(1-cos B)
АВ²=АС²/2(1-cos B)=48²/2(1-7/25)=1600
АВ=40
Радиус вписанной окружности r=АС/2 * √(2АВ-АС)/(2АВ+АС)=48/2 * √(80-48)/(80+48)=24*√1/4=12
Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане ВН (они совпадают), проведенных к основанию.
ВН=√(АВ²-(АС/2)²)=√40²-24²=√1024=32
Расстояние между центрами равно разности расстояний от центров окружностей до вершины треугольника: 25-(32-12)=5
ответ: 5