На рисунке изображен рычаг. Короткое плечо имеет длину 2,9 м, а длиное плечо - 8,7 м. На сколько метров поднимется конец короткого плеча, когда конец длиного плеча опустится на 0,9 м. ответ дайте в метрах.
B₁D - диагональ прямоугольного параллелепипеда. Ребро А₁В₁ перпендикулярно грани АА₁D₁D, значит A₁D - проекция диагонали на эту грань, тогда ∠A₁DB₁ = 30° - угол между диагональю и этой гранью. Ребро В₁С₁ перпендикулярно грани СС₁D₁D, значит С₁D - проекция диагонали на эту грань, тогда ∠С₁DB₁ = 45° - угол между диагональю и этой гранью.
ΔB₁A₁D: А₁В₁ = B₁D/2 = 6 см как катет, лежащий напротив угла в 30°. ΔВ₁С₁D: равнобедренный прямоугольный, В₁С₁ = С₁D = В₁D · sin 45° = 12 · √2|2 = 6√2 см Из ΔC₁CD по теореме Пифагора найдем высоту: СС₁ = √(С₁D² - CD²) = √(72 - 36) = √36 = 6 см
1. Радиус сферы равен половине диаметра, R = 25 см.
Отрезок, соединяющий центр сферы с центром сечения, перпендикулярен сечению. это и есть расстояние от центра сферы до сечения.
Итак, ОА = 25 см, ОС = 15 см. Из прямоугольного треугольника АОС по теореме Пифагора находим радиус сечения:
АС = √(ОА² - ОС²) = √(25² - 15²) = √(625 - 225) = √400 = 20 cм
Линия пересечения сферы плоскостью - окружность. Ее длина:
C = 2π·AC = 2π · 20 = 40π см
2. Сечение шара - круг. Его площадь равна 36π см²:
Sсеч = π · r² = 36π
r² = 36
r = 6 см
Из прямоугольного треугольника АОС по теореме Пифагора:
ОС = √(ОА² - r²) = √(100 - 36) = √64 = 8 см - искомое расстояние.
3. Радиус большого круга равен радиусу шара.
Площадь сечения:
Sсеч = πr²
Площадь большого круга:
S = πR², R = √(S/π)
Sсеч / S = πr² / (πR²) = r²/ R²
По условию Sсеч / S = 3 / 4, ⇒
r²/ R² = 3 / 4, тогда r/R = √3/2
В прямоугольном треугольнике АОС r/R - это косинус угла А.
Тогда ∠А = 30°.
Расстояние от центра шара до сечения - отрезок ОС. Это катет, лежащий напротив угла в 30°, значит он равен
OC = R/2 = √(S/π) / 2 = √S/(2√π)
4. Радиус шара равен половине диаметра:
R = 2√3 см
Прямоугольный треугольник ОВС равнобедренный, так как в нем острый угол равен 45°, поэтому
ОС = r = R/√2 = 2√3 / √2 = √6 см
Sсеч = πr² = π · (√6)² = 6π см²
Ребро А₁В₁ перпендикулярно грани АА₁D₁D, значит A₁D - проекция диагонали на эту грань, тогда ∠A₁DB₁ = 30° - угол между диагональю и этой гранью.
Ребро В₁С₁ перпендикулярно грани СС₁D₁D, значит С₁D - проекция диагонали на эту грань, тогда ∠С₁DB₁ = 45° - угол между диагональю и этой гранью.
ΔB₁A₁D: А₁В₁ = B₁D/2 = 6 см как катет, лежащий напротив угла в 30°.
ΔВ₁С₁D: равнобедренный прямоугольный,
В₁С₁ = С₁D = В₁D · sin 45° = 12 · √2|2 = 6√2 см
Из ΔC₁CD по теореме Пифагора найдем высоту:
СС₁ = √(С₁D² - CD²) = √(72 - 36) = √36 = 6 см
V = 6√2 · 6 · 6 = 216√2 см³