На рисунку АС=АК,ВК | АС,СD | AK.Довкдіть що СD=BK
​

В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также биссектрисой и медианой.

BH - высота/биссектриса/медиана  

AC=4x, AB=3x

AH =AC/2 =2x

BH =√(AB^2 -AH^2) =√(9-4) x =√5 x (т Пифагора)

Центр вписанной окружности - пересечение биссектрис.

AI - биссектриса

По теореме о биссектрисе

BI/IH =AB/AH =3/2 => IH =2/5 BH =8 (см)

Центр описанной окружности - пересечение серединных перпендикуляров.

MO - серединный перпендикуляр к AB

AB/BH =3/√5 => AB =3/√5 BH =12√5

△OBM~△ABH (прямоугольные с общим углом)

OB/AB =BM/BH => OB/12√5 =6√5/20 => OB =18 (см)

Или

cosA =2/3

sinC =sinA =√(1 -cosA^2) =√5/3

AB =BH/sinA

AB/sinC =2R (т синусов) => R =BH/2sinA^2 =20/2 :(5/9) =18 (см)

Свойство острых углов прямоугольного треугольника: сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Свойство катета, лежащего против угла в 30°: катет, лежащй против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Против меньшего угла лежит меньшая сторона, а против меньшей стороны лежит меньший угол.

Поэтому:

1. Втрой острый угол равен: 90° - 60° = 30°.

2. Значит, против угла в 30° лежит меньший катет.

   Обозначим меньший катет х см, тогда гипотенуза будет равна (2х) см. Т.к. по условию задачи их сумма равна 9 см, то состаим и решим уравнение:

х + 2х = 9,

3х = 9,

х = 9 : 3,

х = 3.

Значит, меньший катет прямоугольного треугольника равен 3 см.

ответ: 1. 30°. 2. 3 см.