На сторонах AB, BC, CD и DA квадрата ABCD отмечены точки K, L, M и N соответственно так, что AK=BL=CM=AN. Известно, что ∠CLM=18∘. Найдите ∠MKN.

Рисуем треугольник АВС, где АС = 24 см и АВ = ВС. Проводим высоту ВК = 9 см 
Площадь треугольника, 
S = 24 * 9 / 2 = 108 кв.см 
По свойствам равнобедренного треугольника 
АК = КС = АС / 2 = 24 / 2 = 12 см 
По теореме ПИфагора 
АВ² = ВК² + AK² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15²
АВ = 15 см 
Полупериметр 
р = (АВ + ВС + АС) / 2 = (15 + 15 + 24) / 2 = 27 см 
Радиус вписанной окружности 
r = S / p = 108 / 27 = 4 см 
Синус угла А = ВК / АВ = 9 / 15 = 0,6 
Радиус описанной окружности 
R = ВС / (2 * синус А) = 15 / (2*0,6) = 12,5 с 

 

Пусть СЕ =х , тогда ВЕ= 32-х, АД= 16-х ВД= 24-(16-х) = 8+х. Треугольники ВДЕ и АВС подобны по двум углам ( угол  в -общий , угол ВЕД= углу С как соответственные при параллельных ДЕ И АС и секущей ВС)  Значит  ВД/ ВА = ВЕ/ВС  тоесть (8+х) : 24= (32-х) :4 , решаем эту пропорцию (8+х)* 32= (32-х)* 24

                                               (  8+х)* 4= (32-х)* 3

                                                 32 +4х= 96 -3х

                                                   7х=64

                                                     х= 9 целых 1/7

 ВД= 8+9 целых 1/7= 17 целых 1/7

 Также пропорциональны стороны ВД :  АВ= ДЕ : АС подстави данные  17 целых 1/7 : 24= ДЕ : 28,  ДЕ = 17 целых 1/7 * 28 :24 = 20 см

ответ 20см