На сторонах AB и AC равностороннего треугольника ABC отмечены точки p и q так, что АР :РВ=2:1 и AQ:QC=1:2. Докажите, что прямые Ас и PQ перпендикулярны ​

На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС отмечены соответственно точки P, Q и R. Известно, что AP : PB = BQ : QC = CR : RA = 4, а площадь треугольника АВС равна 25 кв.см. Чему равна площадь треугольника PQR (в кв.см)?

Проведем ВВ₁⊥АС и РР₁⊥АС.

ΔАВВ₁ подобен ΔАРР₁ по двум углам (угол при вершине А общий, ∠АР₁Р = ∠АВ₁В = 90°), ⇒

РР₁ : ВВ₁ = АР : АВ = 4 : 5

РР₁ = 4/5 ВВ₁

AR = 1/5 AC

Sapr = 1/2 AR · PP₁ = 1/2 · 1/5 AC · 4/5 BB₁ = 4/25 (1/2 AC · BB₁) = 4/25 · Sabc

Проведем QQ₁⊥AC.

ΔСQQ₁ подобен ΔСВВ₁ по двум углам.

QQ₁ : BB₁ = CQ : CB = 1 : 5

QQ₁ = 1/5 BB₁

RC = 4/5 AC

Scqr = 1/2 RC · QQ₁ = 1/2 · 4/5 AC · 1/5 BB₁ = 4/25 (1/2 AC · BB₁) = 4/25 · Sabc

Проведем АА₁⊥ВС и РР₂⊥ВС.

ΔАА₁В подобен ΔРР₂В по двум углам.

РР₂ : АА₁ = РВ : АВ = 1 : 5

РР₂ = 1/5 АА₁

BQ = 4/5 BC

Sbpq = 1/2 BQ · PP₂ = 1/2 · 4/5 BC · 1/5 AA₁ = 4/25 (1/2 BC · AA₁) = 4/25 · Sabc

Spqr = Sabc - Sapq - Scqr - Sbpq = Sabc - 3 · 4/25 Sabc = Sabc - 12/25 Sabc = 

= 13/25 Sabc

Spqr = 13/25 · 25 = 13 см²

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен половине разности основанийТреугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения - подобныТреугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции - равновеликие (имеют одинаковую площадь)Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины основанийОтрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапецииОтрезок, параллельный основаниям трапеции, и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a + b), где a и b - основания трапеции