На сторонах BC и CD ромба ABCD взяты точки M и N соответственно, отличные от точек A, B, C и D. Оказалось, что треугольник AMN равносторонний, и при этом MN=AD. Найдите угол ABC.

1) Проекция вершины на основание есть радиус вписанной окружности. Из прямоугольного треугольника образованным апофемой и радиусом      
 
2)Так как у нас призма прямоугольная пусть основание равна  , то тогда гипотенуза треугольника пусть  будет являться диаметром основания цилиндра (это следствие из известной теоремы что у прямоугольного треугольника гипотенуза будет являться диаметром). Тогда диаметр будет равняться      . По условию большая диагональ грани это есть грань гипотенузы. Тогда если один угол равен 45 гр , то треугольника образованный диагональю и высотой цилиндра  является равнобедренным  , следовательно     где  - высота      . 
 Тогда площадь основания равна  

1.Найдите площадь квадрата, если его периметр равен 100
см. У квадрата 4 стороны, и они равны, поэтому 100:4=25 одна сторона.
Площадь =25*25=625 м2

2.Периметр прямоугольника равен            80 см, а длина в 3 раза больше
ширины. Найдите его площадь?  
80:2=40 см это суммы ширины и длины
так как длина в3 раза больше, то это 3 части, а ширина 1 часть, всего 4 части
40:4=10 см это одна счасть, то есть ширина
10*3=30 см длина
10*30=300 см2 площадь

3.Стороны прямоугольника равны 25 см и 4 см. Каковы
стороны равновеликого ему прямоугольника, у которого стороны равны? 
25*4=100 см2 площадь
√100=10 см сторона прямоугольника

4. Найдите периметр прямоугольника если его площадь равна
128 см², а  длины его сторон относятся
как 1 : 2. 
пусть одна сторона х, другая 2х
1х*2х=128
2х²=128
х²=64
х=8 см  ширина
8*2=16 см длина
2*(8+16)=2*24=48 см периметр

5.      Найдите стороны
квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами 8 см и 98см.
8*98=784 см2 площадь прямоугольника
√784=28 см стороны квадрата

6.  Как измениться площадь прямоугольника, если его стороны
уменьшить в 3 раза.
х,у стороны прямоуг.
х/3*у/3=ху/9 площадь уменьшится в 9 раз.