(надо желательно с рисунком) треугольники mnp и m1n1p1 подобны так, что mn и np соответствуют сторонам m1n1 и n1p1. найдите неизвестные стороны треугольников, если mn = 4 см, np = 5 см, m1n1 = 12 см, n1p1 = 18 см.
Тут есть "хитрый ход". Пусть биссектриса l = √6; высота h = √5; площадь S, катеты a и b, гипотенуза c. Площади двух треугольников, на которые биссектриса делит весь треугольник, можно записать, как l*a*sin(45°)/2 и l*b*sin(45°)/2; и в сумме это будет S; я сразу перепишу это вот так a + b = (S/l)*(4/√2); кроме того, очевидно, что площадь равна S = c*h/2; или √(a^2 + b^2) = 2*(S/h); Вот теперь следует "хитрый ход". :) Если возвести эти уравнения в квадрат, получится a^2 + b^2 +2*a*b = 8*(S/l)^2; a^2 + b^2 = 4*(S/h)^2; Но a*b/2 = S; :) благодаря чему получается 4*(S/h)^2 + 4*S = 8*(S/l)^2; или 1 = S*(2/l^2 - 1/h^2); если подставить значения, получится S = 15/2;
Нет, не может. Он должен быть больше 6 см. Доказательство 1)
Соединим точку В с А и О. Получим треугольник АОВ со стороной АО=13 см, АВ =4 см, ОВ< 6 cм, так как точка В находится внутри окружности и потому меньше ее радиуса. Сумма длин двух сторон треугольника больше длины третьей стороны, иначе эти стороны не образуют угол просто потому, что не смогут соединиться.
При АВ=4
АВ+ВО < 13 см
Доказательство 2) Проведем касательную к точке С пересечения АО с окружностью. Любой отрезок, пересекающий эту касательную по обе стороны от точки М, будет длиннее АС, так как он будет наклонным к касательной. А, как известно, любая наклонная больше перпендикуляра, проведённого из той же точки к той же прямой.
В данном случае АС будет больше АВ. Длина же АС=13-6=7 см.
Площади двух треугольников, на которые биссектриса делит весь треугольник, можно записать, как l*a*sin(45°)/2 и l*b*sin(45°)/2; и в сумме это будет S; я сразу перепишу это вот так
a + b = (S/l)*(4/√2);
кроме того, очевидно, что площадь равна S = c*h/2; или
√(a^2 + b^2) = 2*(S/h);
Вот теперь следует "хитрый ход". :) Если возвести эти уравнения в квадрат, получится
a^2 + b^2 +2*a*b = 8*(S/l)^2;
a^2 + b^2 = 4*(S/h)^2;
Но a*b/2 = S; :) благодаря чему получается
4*(S/h)^2 + 4*S = 8*(S/l)^2; или
1 = S*(2/l^2 - 1/h^2);
если подставить значения, получится S = 15/2;
Соединим точку В с А и О.
Получим треугольник АОВ со стороной АО=13 см, АВ =4 см, ОВ< 6 cм, так как точка В находится внутри окружности и потому меньше ее радиуса.
Сумма длин двух сторон треугольника больше длины третьей стороны, иначе эти стороны не образуют угол просто потому, что не смогут соединиться.
При АВ=4
АВ+ВО < 13 см
Доказательство 2)
Проведем касательную к точке С пересечения АО с окружностью. Любой отрезок, пересекающий эту касательную по обе стороны от точки М, будет длиннее АС, так как он будет наклонным к касательной. А, как известно, любая наклонная больше перпендикуляра, проведённого из той же точки к той же прямой.
В данном случае АС будет больше АВ. Длина же АС=13-6=7 см.
АВ >7 см