Обозначим вершины треугольника: А, В, С, основание высоты из вершины В прямого угла - М, точку пересечения биссектрисой гипотенузы - К. Тогда ВМ / ВК = cos МВК. Угол МВК = arc cos (ВМ / ВК). Угол СВК = КВА = 45°, так как ВК - биссектриса прямого угла. Угол СВМ = 45 - (arc cos (ВМ / ВК)), а угол МВА =45 + (arc cos (ВМ / ВК)). Отсюда стороны треугольника равны: ВС = ВМ / cos(45 - (arc cos (ВМ / ВК))). BA = BM / cos(45 + (arc cos (ВМ / ВК)). Гипотенузу АС находим по Пифагору: СА = √(ВС²+ВА²), тогда площадь треугольника АВС = (1/2)*АС*ВМ.
1) Бічна грань - прямокутник. ЇЇ розміри -dsin α*dcos α = d²sin2α/2. Площа бічної поверхні призми складає з 3 граней, тоді Sбок = (d²sin2α/2)*3 = 3d²sin2α/2. 2) Якщо кожне ребро дорівнює √2 см, то бічні грані - рівносторонні трикутники. Апофема дорівнює √2*cos 30 = √2*√3/2. Площа бічної поверхні становить 4*(1/2)*√2*√2*√3/2. = 2√3, Площа основи - (√2)² = 2. Тоді повна поверхня дорівнює 2√3 + 2 = 2(√3 + 1). 3) Якщо в основі піраміди прямокутний трикутник, а бічні ребра однакові, то вісь піраміди проходить через середину гіпотенузи основи. Ця вісь становить одночасно апофемою бічної грані. Тобто ця бічна грань вертикальна та її висота одночасно становить висотою піраміди. Висота піраміди дорівнює 12*cos 30 = 12*(√3/2) = 6√3.
Тогда ВМ / ВК = cos МВК. Угол МВК = arc cos (ВМ / ВК).
Угол СВК = КВА = 45°, так как ВК - биссектриса прямого угла.
Угол СВМ = 45 - (arc cos (ВМ / ВК)),
а угол МВА =45 + (arc cos (ВМ / ВК)).
Отсюда стороны треугольника равны:
ВС = ВМ / cos(45 - (arc cos (ВМ / ВК))).
BA = BM / cos(45 + (arc cos (ВМ / ВК)).
Гипотенузу АС находим по Пифагору: СА = √(ВС²+ВА²), тогда площадь треугольника АВС = (1/2)*АС*ВМ.
ЇЇ розміри -dsin α*dcos α = d²sin2α/2.
Площа бічної поверхні призми складає з 3 граней, тоді Sбок = (d²sin2α/2)*3 = 3d²sin2α/2.
2) Якщо кожне ребро дорівнює √2 см, то бічні грані - рівносторонні трикутники. Апофема дорівнює √2*cos 30 = √2*√3/2.
Площа бічної поверхні становить 4*(1/2)*√2*√2*√3/2. = 2√3,
Площа основи - (√2)² = 2.
Тоді повна поверхня дорівнює 2√3 + 2 = 2(√3 + 1).
3) Якщо в основі піраміди прямокутний трикутник, а бічні ребра однакові, то вісь піраміди проходить через середину гіпотенузи основи. Ця вісь становить одночасно апофемою бічної грані.
Тобто ця бічна грань вертикальна та її висота одночасно становить висотою піраміди.
Висота піраміди дорівнює 12*cos 30 = 12*(√3/2) = 6√3.