Треугольники ВСО и ODE равны из признака равенства треугольников: в треугольниках равны стороны ОС=OD и прилежащие к этой стороне углы <BCO=<EDO равны как накрест лежащие при параллельных прямых и <DOE=<BOC равны как вертикальные.
Из равенства треугольников следует что стороны BC=DE
Проведем из точки В высоту на сторону AD и получим высоту BH=h
Высота h для трапеции ABCD является и высотой для треугольника ABE
Площадь трапеции S= 1/2(BC+AD)*h
Площадь треугольника S=1/2AE*h=1/2(AD+DE)*h=1/2(AD+BC)*h
А) ∠АMN=90 °; ∠ACN= 90 °. Сумма противоположных углов четырехугольника СNMA равна 180 °, значит около четырехугольника CNMA можно описать окружность. ∠СMN=∠CAN как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу NC. б) Так как точка М– середина гипотенузы является центром окружности, описанной около треугольника АВС, то ВM=AM=CM
Треугольник CMB – равнобедренный, так как СM=BM.
Треугольник ANB – равнобедренный, так как NM – серединный перпендикуляр к АВ, поэтому BN=AN.
Угол В в этих треугольниках общий.
По теореме синусов из треугольника АNB BN/sin∠B=2R1, R1– радиус окружности, описанной около треугольника ANB. По теореме синусов из треугольника СМВ: СM/sin ∠B=2R2 R2– радиус окружности, описанной около треугольника СМВ
Середина стороны CD точка О.
Треугольники ВСО и ODE равны из признака равенства треугольников: в треугольниках равны стороны ОС=OD и прилежащие к этой стороне углы <BCO=<EDO равны как накрест лежащие при параллельных прямых и <DOE=<BOC равны как вертикальные.
Из равенства треугольников следует что стороны BC=DE
Проведем из точки В высоту на сторону AD и получим высоту BH=h
Высота h для трапеции ABCD является и высотой для треугольника ABE
Площадь трапеции S= 1/2(BC+AD)*h
Площадь треугольника S=1/2AE*h=1/2(AD+DE)*h=1/2(AD+BC)*h
∠АMN=90 °; ∠ACN= 90 °.
Сумма противоположных углов четырехугольника СNMA равна 180 °, значит около четырехугольника CNMA можно описать окружность.
∠СMN=∠CAN как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу NC.
б)
Так как точка М– середина гипотенузы является центром окружности, описанной около треугольника АВС, то
ВM=AM=CM
Треугольник CMB – равнобедренный, так как СM=BM.
Треугольник ANB – равнобедренный, так как NM – серединный перпендикуляр к АВ, поэтому BN=AN.
Угол В в этих треугольниках общий.
По теореме синусов из треугольника АNB
BN/sin∠B=2R1, R1– радиус окружности, описанной около треугольника ANB.
По теореме синусов из треугольника СМВ:
СM/sin ∠B=2R2
R2– радиус окружности, описанной около треугольника СМВ
Значит
R1/R2=BN/CM, так как СМ=ВМ.
R1/R2=BN/BM
Рассмотрим прямоугольный треугольник ВNM:
cos∠B=BM/BN
R1/R2=1/cos∠B
По условию
tg∠A=4/3 ⇒ 1+tg2∠A=1/cos2∠A
значит
cos2∠A=1/(1+tg2∠A)=1/(1+(4/3)2)=9/25
так как угол А –острый, то cos∠A=3/5
sin∠A=4/5
sin∠A=cos∠B
R1/R2=1/cos∠B=1/(4/5)=5/4
О т в е т. 5/4