Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 18см и 34 см а боковое ребро - 17 см.
Если точка N равно удалена от каждой вершины треугольника, то это вершина конуса, в основание которого (круг) вписан заданный треугольник. Проекция точки N на основание - центр О описанной вокруг треугольника окружности радиуса R. R = a/(2sinA). Находим высоту h на основание треугольника. h = √(3²-(4/2)²) = √(9-4) = √5. sinA = h/AB = √5/3. Тогда R = 3/(2*(√5/3) = 9/(2√5) = 9√5/(2√5*√5) = 0,9√5.
Расстояние от точки N до плоскости треугольника - это отрезок NO. NO = √(2,1²-R²) = √(4,41-0,81*5) = √(4,41-4,05) = √0,36 = 0,6.
Примем все рёбра заданного тетраэдра равными 1. Задачу можно решить двумя векторным и геометрическим.
1) Поместим тетраэдр в прямоугольную систему координат точкой А в начало и ребром АВ по оси Оу. Находим координаты необходимых точек. С((√3/2; (1/2); 0) Д((√3/6); (1/2); √(2/3)). М((√3/12); (1/4); (√6/6)) К((√3/4); (3/4); 0). Определяем координаты векторов. СД((-√3/3); 0; √(2/3)), модуль равен √((3/9)+0+(2/3) = 1. МК((√3/6); (1/2); (-√6/6)), модуль равен √(3/36)+(1/4)+(6/36)) =√(1/2). cosα = ((-√3/3)*(√3/6)+0*(1/2)+(√(2/3))*(-√6/6))/(1*√(1/2)) = (-1/2)/(1/√2) = = -√2/2. Угол α = 135, или ближайший угол равен 45°.
2) Проверяем геометрическим Если проведём осевое сечение через ребро АД, то получим равнобедренный треугольник, две стороны которого - апофемы пирамиды. Они равны по 1*cos30 = √3/2. МК как медиана и высота на сторону АД равна √((3/4)-(1/4) = √(2/4) = √2/2 = 1/√2.
Теперь перенесём отрезок МК из точки К в точку С и новую точку М1 соединим с точкой Д. Получим треугольник ДСМ1 с двумя известными сторонами СД = 1 и СМ1 = 1/√2. Так как ребро АД перпендикулярно ВС, то перемещение точки М в М1 равно 1/2, а отрезок ММ1 = √((1/2)²+(1/2)²+ = √(2/4) = 1/√2. Выяснили, что треугольник ДСМ1 имеет две стороны по 1/√2 и одну, равную 1. Проверим по квадратам сторон: (1/2), (1/2) и 1. Получаем прямоугольный треугольник с равными катетами. Значит, угол между МК и СД равен 45 градусов.
Проекция точки N на основание - центр О описанной вокруг треугольника окружности радиуса R.
R = a/(2sinA). Находим высоту h на основание треугольника.
h = √(3²-(4/2)²) = √(9-4) = √5.
sinA = h/AB = √5/3.
Тогда R = 3/(2*(√5/3) = 9/(2√5) = 9√5/(2√5*√5) = 0,9√5.
Расстояние от точки N до плоскости треугольника - это отрезок NO.
NO = √(2,1²-R²) = √(4,41-0,81*5) = √(4,41-4,05) = √0,36 = 0,6.
Задачу можно решить двумя векторным и геометрическим.
1) Поместим тетраэдр в прямоугольную систему координат точкой А в начало и ребром АВ по оси Оу.
Находим координаты необходимых точек.
С((√3/2; (1/2); 0) Д((√3/6); (1/2); √(2/3)).
М((√3/12); (1/4); (√6/6)) К((√3/4); (3/4); 0).
Определяем координаты векторов.
СД((-√3/3); 0; √(2/3)), модуль равен √((3/9)+0+(2/3) = 1.
МК((√3/6); (1/2); (-√6/6)), модуль равен √(3/36)+(1/4)+(6/36)) =√(1/2).
cosα = ((-√3/3)*(√3/6)+0*(1/2)+(√(2/3))*(-√6/6))/(1*√(1/2)) = (-1/2)/(1/√2) =
= -√2/2.
Угол α = 135, или ближайший угол равен 45°.
2) Проверяем геометрическим
Если проведём осевое сечение через ребро АД, то получим равнобедренный треугольник, две стороны которого - апофемы пирамиды.
Они равны по 1*cos30 = √3/2.
МК как медиана и высота на сторону АД равна √((3/4)-(1/4) = √(2/4) = √2/2 = 1/√2.
Теперь перенесём отрезок МК из точки К в точку С и новую точку М1 соединим с точкой Д.
Получим треугольник ДСМ1 с двумя известными сторонами СД = 1 и СМ1 = 1/√2.
Так как ребро АД перпендикулярно ВС, то перемещение точки М в М1 равно 1/2, а отрезок ММ1 = √((1/2)²+(1/2)²+ = √(2/4) = 1/√2.
Выяснили, что треугольник ДСМ1 имеет две стороны по 1/√2 и одну, равную 1.
Проверим по квадратам сторон: (1/2), (1/2) и 1.
Получаем прямоугольный треугольник с равными катетами.
Значит, угол между МК и СД равен 45 градусов.