Площадь равностороннего треугольника находится по формуле S = a²√3/4, где а - сторона треугольника.
Доказательство: Проведем ВН - высоту равностороннего треугольника. Пусть ее длина равна h. Высота в равностороннем треугольнике является и медианой. Тогда АН = НС = а/2.
Площадь треугольника можно найти по формуле S = a·h/2 Из прямоугольного треугольника АВН по теореме Пифагора выразим высоту через сторону: h² = a² - (a/2)² = a² - a²/4 = 3a²/4 h = √(3a²/4) = a√3/2
Подставим в формулу площади: S = (a · a√3/2)/2 S = a²√3/4
Высоту через сторону можно было выразить иначе: в равностороннем треугольнике углы равны 60°. Из прямоугольного треугольника АВН по определению синуса: sin∠A = h/a, sin60° = √3/2 h = a·sin60° = a√3/2
1. В равнобедренной трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон и боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90° (свойства). Тогда По теореме Пифагора в треугольнике АВО: ОВ=9, АО=12, АВ=15. Высота из прямого угла на гипотенузу АВ - это радиус вписанной окружности и по свойству высоты: r= ОА*ОВ/АВ = 12*9/15 = 7,2см. Высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности h = 2r = 14.4 см. Тогда площадь трапеции: S=(ВС+АD) * h/2 = (АВ+СD) *h/2 = (15+15) *14,4/2 = 216см². ответ: 216. 2. Пусть АВСD - данная прямоугольная трапеция c прямым углом А. Опустим высоту СН из тупого угла С. Тогда сторона CD по Пифагору равна √(6²+8²) = 10см. В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°. Значит треугольник OCD - прямоугольный. Тогда по Пифагору CD=√(6²+8²)=10см. Радиус вписанной окружности - высота ОР из прямого угла и по ее свойствам равен r= ОС*ОD/CD=6*8/10=4,8см. Тогда высота трапеции равна 2*r=9,6см. В треугольнике НСD катет НD=√(10²-9,6²)=2,8см. Высота ОР делит гипотенузу СD на отрезки СР и РD, причем ОС²=СР*CD (свойство). Отсюда СР=36/10=3,6см, а PD=6,4см. В нашей трапеции основание ВС=СN+r = 4,8+3,6=8,4см (так как касательные из одной точки С к окружности равны). Площадь трапеции равна сумме площадей прямоугольника АВСН и треугольника CHD: 8,4*9,6+(1/2)*9,6*2,8 = 80,64+13,44=94,08см². ответ: S=94,08см². 3. Формула радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности: r=(a+b-c)/2 = 2. => a+b=14. b=a-14. По Пифагору: a²+(14-а)²=100 => a²-14a+96=0. => a1=6, a2=8. Соответственно b1=8, b2=6. S=(1/2)*6*8=24см². 4. По теореме косинусов для треугольников АОС и ВОС: R²=16²+8²-2*16*8*Cosα (1) R²=12²+8²-2*12*8*Cos(180-α). Cos(180-α) = -Cosα. R²=12²+8²+2*12*8*Cosα. (2). Приравняем (1) и (2): 320-256*Cosα=208+192*Cosα => Cosα=0,25. Из(1): R²=320-64=256. ответ: R=16см. 5. Касательные из одной точки к окружности равны, радиусы перпендикулярны касательным в точке касания. Поэтому прямоугольные треугольники АВО и СВО равны и угол АВО=30°. Тогда АО=20см и АВ=10√3см. Периметр Pabco=2*10+2*10√3=20(1+√3)см.
S = a²√3/4, где а - сторона треугольника.
Доказательство:
Проведем ВН - высоту равностороннего треугольника.
Пусть ее длина равна h. Высота в равностороннем треугольнике является и медианой. Тогда АН = НС = а/2.
Площадь треугольника можно найти по формуле
S = a·h/2
Из прямоугольного треугольника АВН по теореме Пифагора выразим высоту через сторону:
h² = a² - (a/2)² = a² - a²/4 = 3a²/4
h = √(3a²/4) = a√3/2
Подставим в формулу площади:
S = (a · a√3/2)/2
S = a²√3/4
Высоту через сторону можно было выразить иначе:
в равностороннем треугольнике углы равны 60°.
Из прямоугольного треугольника АВН по определению синуса:
sin∠A = h/a,
sin60° = √3/2
h = a·sin60° = a√3/2
ОВ=9, АО=12, АВ=15. Высота из прямого угла на гипотенузу АВ - это радиус вписанной окружности и по свойству высоты:
r= ОА*ОВ/АВ = 12*9/15 = 7,2см.
Высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности
h = 2r = 14.4 см. Тогда площадь трапеции:
S=(ВС+АD) * h/2 = (АВ+СD) *h/2 = (15+15) *14,4/2 = 216см².
ответ: 216.
2. Пусть АВСD - данная прямоугольная трапеция c прямым углом А. Опустим высоту СН из тупого угла С. Тогда сторона CD по Пифагору равна √(6²+8²) = 10см.
В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°. Значит треугольник OCD - прямоугольный. Тогда по Пифагору CD=√(6²+8²)=10см.
Радиус вписанной окружности - высота ОР из прямого угла и по ее свойствам равен r= ОС*ОD/CD=6*8/10=4,8см.
Тогда высота трапеции равна 2*r=9,6см.
В треугольнике НСD катет НD=√(10²-9,6²)=2,8см.
Высота ОР делит гипотенузу СD на отрезки СР и РD, причем
ОС²=СР*CD (свойство). Отсюда СР=36/10=3,6см, а PD=6,4см.
В нашей трапеции основание ВС=СN+r = 4,8+3,6=8,4см (так как касательные из одной точки С к окружности равны).
Площадь трапеции равна сумме площадей прямоугольника АВСН и треугольника CHD: 8,4*9,6+(1/2)*9,6*2,8 = 80,64+13,44=94,08см².
ответ: S=94,08см².
3. Формула радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности: r=(a+b-c)/2 = 2. => a+b=14. b=a-14.
По Пифагору: a²+(14-а)²=100 => a²-14a+96=0. =>
a1=6, a2=8. Соответственно b1=8, b2=6.
S=(1/2)*6*8=24см².
4. По теореме косинусов для треугольников АОС и ВОС:
R²=16²+8²-2*16*8*Cosα (1)
R²=12²+8²-2*12*8*Cos(180-α). Cos(180-α) = -Cosα.
R²=12²+8²+2*12*8*Cosα. (2). Приравняем (1) и (2):
320-256*Cosα=208+192*Cosα => Cosα=0,25.
Из(1): R²=320-64=256.
ответ: R=16см.
5. Касательные из одной точки к окружности равны, радиусы перпендикулярны касательным в точке касания.
Поэтому прямоугольные треугольники АВО и СВО равны и угол АВО=30°.
Тогда АО=20см и АВ=10√3см.
Периметр Pabco=2*10+2*10√3=20(1+√3)см.