1)Все грани куба– квадраты, диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, B1D1⊥A1C1. B1D1– проекция наклонной B1D. По теореме о трех перпендикулярах B1D ⊥ A1C1
Треугольник A1BC1– равносторонний, Проведем высоту ВК (К– точка пересечения диагоналей) B1D пересекается с КВ в точке М.
Треугольники КВ1М и DBM подобны по двум углам. (см. рисунок) D1B1=DB=√2 KB1=√2/2 По теореме Пифагора B1D=√3 KB=√(3/2) KM:MB=1:2 KM:((√3/2)–KB)=1:2 KB=√6/6 B1M:MD=1:2 B1M:(√3– B1M)=1:2 B1M=√3/3
В треугольнике В1КМ B1K²=B1M²+MK² 1/2=(1/3)+(1/6) Треугольник прямоугольный угол B1MK– прямой
Итак, B1D– перпендикулярна двум пересекающимся прямым А1С1 и BK, значит перпендикулярна плоскости А1ВС1.
2) Плоскость АВ1С1– это плоскость АB1C1D Плоскость A1B1C– это плоскость A1B1CD
Две эти плоскости имеют общие точки B1 и D. Значит пересекаются по прямой, проходящей через эти точки.
Чтобы построить линейный угол двугранного угла проводим к прямой B1D перпендикуляры AE и EC. AE=EC– высоты прямоугольных треугольников с катетами 1 и √2 и гипотенузой √3 АЕ=ЕС=1•√2/√3=√(2/3)
Из треугольника АСЕ по теореме косинусов АС²=АЕ²+ЕС²–2•АЕ•ЕС•cos ∠AEC (√2)²=(√(2/3))²+(√(2/3))²–2•(√(2/3))•(√(2/3))•cos ∠AEC cos ∠AEC=–1/2 ∠AEC=120°
обозначим вершины трапеции А В С Д с основаниями ВС и АД. высоту ВН и проведём ещё одну высоту СК к нижнему основанию. Эти высоты делят АД так что НК=ВС, и так как трапеция равнобедренная то АН=КД.
Рассмотрим ∆АВН, он прямоугольный где АН и ВН катеты а АВ - гипотенуза. <А=45°, а сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, поэтому <АВН=90–45=45°. Итак: ∆АВН - равнобедренный, поэтому АН=ВН=5. Тогда АН=КД=5. Если АД=14, то ВС= НК=АД–АН–КД=14–5–5=14–10=4
ответ: ВС=4
№26
если ориентироваться по моему рисунку, то решение будет похожим, только в обратном направлении. Такое как и в первом задании проводим вторую высоту, точно так же вычисляется катет АН=ВН=5. НК=ВС=6. Тогда АД=АН+НК+КД=5+6+5=16
ответ: АД=16
№27
у параллелограмма противоположные углы и стороны равны, поэтому <А=<С=30+45=75°. Углы, прилегающие к одной стороне параллелограмма в сумме составляют 180°, поэтому <В=<Д=180–75=105°
ответ: больший угол <В=<Д=105°
Задача 5
Сумма углов, прилегающих к одной боковой стороне составляет 180°, поэтому 2-й острый угол=180–108=72°. Так как трапеция равнобедренная, то острые углы равны между собой и тупые углы также равны между собой
1)Все грани куба– квадраты, диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, B1D1⊥A1C1. B1D1– проекция наклонной B1D. По теореме о трех перпендикулярах B1D ⊥ A1C1
Треугольник A1BC1– равносторонний, Проведем высоту ВК (К– точка пересечения диагоналей) B1D пересекается с КВ в точке М.
Треугольники КВ1М и DBM подобны по двум углам. (см. рисунок) D1B1=DB=√2 KB1=√2/2 По теореме Пифагора B1D=√3 KB=√(3/2) KM:MB=1:2 KM:((√3/2)–KB)=1:2 KB=√6/6 B1M:MD=1:2 B1M:(√3– B1M)=1:2 B1M=√3/3
В треугольнике В1КМ B1K²=B1M²+MK² 1/2=(1/3)+(1/6) Треугольник прямоугольный угол B1MK– прямой
Итак, B1D– перпендикулярна двум пересекающимся прямым А1С1 и BK, значит перпендикулярна плоскости А1ВС1.
2) Плоскость АВ1С1– это плоскость АB1C1D Плоскость A1B1C– это плоскость A1B1CD
Две эти плоскости имеют общие точки B1 и D. Значит пересекаются по прямой, проходящей через эти точки.
Чтобы построить линейный угол двугранного угла проводим к прямой B1D перпендикуляры AE и EC. AE=EC– высоты прямоугольных треугольников с катетами 1 и √2 и гипотенузой √3 АЕ=ЕС=1•√2/√3=√(2/3)
Из треугольника АСЕ по теореме косинусов АС²=АЕ²+ЕС²–2•АЕ•ЕС•cos ∠AEC (√2)²=(√(2/3))²+(√(2/3))²–2•(√(2/3))•(√(2/3))•cos ∠AEC cos ∠AEC=–1/2 ∠AEC=120°
Объяснение:
№25
обозначим вершины трапеции А В С Д с основаниями ВС и АД. высоту ВН и проведём ещё одну высоту СК к нижнему основанию. Эти высоты делят АД так что НК=ВС, и так как трапеция равнобедренная то АН=КД.
Рассмотрим ∆АВН, он прямоугольный где АН и ВН катеты а АВ - гипотенуза. <А=45°, а сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, поэтому <АВН=90–45=45°. Итак: ∆АВН - равнобедренный, поэтому АН=ВН=5. Тогда АН=КД=5. Если АД=14, то ВС= НК=АД–АН–КД=14–5–5=14–10=4
ответ: ВС=4
№26
если ориентироваться по моему рисунку, то решение будет похожим, только в обратном направлении. Такое как и в первом задании проводим вторую высоту, точно так же вычисляется катет АН=ВН=5. НК=ВС=6. Тогда АД=АН+НК+КД=5+6+5=16
ответ: АД=16
№27
у параллелограмма противоположные углы и стороны равны, поэтому <А=<С=30+45=75°. Углы, прилегающие к одной стороне параллелограмма в сумме составляют 180°, поэтому <В=<Д=180–75=105°
ответ: больший угол <В=<Д=105°
Задача 5
Сумма углов, прилегающих к одной боковой стороне составляет 180°, поэтому 2-й острый угол=180–108=72°. Так как трапеция равнобедренная, то острые углы равны между собой и тупые углы также равны между собой
ответ: острый угол=72°