Чтобы найти угол между вектором и плоскостью, нам понадобится вектор нормали к плоскости.
Дано, что уравнение плоскости α имеет вид 3х + 4у - 2z = 0. Это уравнение можно переписать в виде векторного уравнения: (3, 4, -2) * (x, y, z) = 0, где (x, y, z) - произвольная точка плоскости α, а (3, 4, -2) - вектор нормали к плоскости α.
Таким образом, вектор нормали к плоскости α равен (3, 4, -2).
Угол между вектором а(2, 1, -1) и вектором нормали к плоскости α можно найти с использованием скалярного произведения:
cosθ = (а * н) / (|а| * |н|),
где а - вектор а(2, 1, -1), н - вектор нормали к плоскости α.
Для начала, найдем длину вектора а(2, 1, -1):
|а| = √(2^2 + 1^2 + (-1)^2) = √6
Теперь найдем длину вектора нормали к плоскости α:
|н| = √(3^2 + 4^2 + (-2)^2) = √29
Теперь найдем скалярное произведение вектора а(2, 1, -1) и вектора нормали к плоскости α:
а * н = 2 * 3 + 1 * 4 + (-1) * (-2) = 6 + 4 + 2 = 12
Теперь можем подставить все значения в формулу для нахождения косинуса угла:
cosθ = 12 / (√6 * √29)
Теперь найдем сам угол θ, применив обратную функцию косинуса:
θ = arccos(12 / (√6 * √29))
Воспользуемся калькулятором, чтобы найти точное значение нашего угла. Получаем результат:
θ ≈ 18.62 градусов.
Таким образом, угол образования прямой, на которой лежит вектор а(2, 1, -1), с плоскостью α равен приблизительно 18.62 градусов.
