AB*CD = AC*BD = AD*BC. Или, сгруппировав их по другому, имеем:
Для треугольников АВС и DBC с общей стороной ВС:
AB/AC=BD/DC. (1)
Для треугольников АВС и ABD с общей стороной АВ:
AC/BC=AD/BD. (2)
Для треугольников АВС и ADC с общей стороной АС:
AB/BC=AD/DC. (3)
Эти отношения равны между собой (дано).
Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис его внутренних углов, а биссектрисы делят противоположные стороны в отношении прилегающих сторон (свойство).
Причем это свойство имеет обратную силу, то есть, если прямая, проведенная из вершины угла треугольника делит противоположную сторону в отношении прилегающих сторон, то эта прямая - биссектриса
угла.
Если провести в наших треугольниках биссектрисы к общим сторонам, то
они пересекутся в точках, лежащих на этих сторонах в силу соотношений
(1), (2) и (3):
AID и DIA - в точке Н, например, а CID и DIC - в точке К. То же самое
и с другими биссектрисами.
Следовательно, точки А,Н и D лежат в одной плоскости АНD и прямые AIA и DID пересекаются.
Точно так же в плоскости АСN лежат прямые AIA и CIC, которые пересекаются.
Прямые DID и CIC лежат в плоскости DCK, и также пересекаются.
Итак, прямые AIA и DID имеют общую точку.
А прямая CIC также имеет общую точку и с прямой AIA и с прямой DID,
но лежит в другой плоскости, следовательно эта точка должна быть одной и той же общей точкой.
То же и с пересекающимися прямыми DID и ВIВ, которые лежат в
плоскости BMD.
Имеем четыре пары пересекающихся прямых (AIA и DID, AIA и CIC,
DID и CIC, DID и ВIВ), лежащих в четырех разных плоскостях (АНD,АСN,DCK и BMD соответственно).
Эти выводы справедливы для любых пар данных нам отрезков:
Если три или более прямых,лежащих в разных плоскостях, попарно
пересекаются, то они имеют одну общую точку.
Следовательно, данные нам отрезки пересекаются в одной точке.
1. Сумма двух векторов: начало второго вектора совмещается с концом первого, сумма же этих векторов есть вектор с началом, совпадающим с началом первого, и концом, совпадающим с концом 2-го.
Разделим вектор CB на 3 равные части. Для этого проведем из точки С луч "n" и отложим на нем циркулем 3 РАВНЫХ отрезка произвольной длины. Конец B' третьего отрезка соединим с точкой В, а из концов первого и второго отрезка проведем прямые, параллельные прямой BB'. Эти прямые и разделят вектор СВ на три равные части (теорема Фалеса).
Тогда вектор СЕ = (2/3)*СВ. Из конца Е вектора СЕ проведем прямую, параллельно CD. Эта прямая пересечет сторону CD в точке F. Вектор EF равен вектору CD. Тогда вектор CF = CE+EF или
CF = (2/3)*CB + CD, что и необходимо было построить.
2. Для получения вектора разности двух векторов (c) = (a-b) начала векторов соединяются и началом вектора разности (c) будет конец вектора (b) (вычитаемое), а концом - конец вектора (a) (уменьшаемое). Тогда вектор разности векторов ВА и ВС есть вектор СА.
Разделим вектор СА на 4 равных части указанным выше используя луч СA' (добавив к 3 полученным ранее равным отрезкам четвертый BA').
Тогда вектор CG = (1/4)*СА = (1/4)*(ВА - ВС), что и необходимо было построить.
Нам даны соотношения сторон тетраэдра:
AB*CD = AC*BD = AD*BC. Или, сгруппировав их по другому, имеем:
Для треугольников АВС и DBC с общей стороной ВС:
AB/AC=BD/DC. (1)
Для треугольников АВС и ABD с общей стороной АВ:
AC/BC=AD/BD. (2)
Для треугольников АВС и ADC с общей стороной АС:
AB/BC=AD/DC. (3)
Эти отношения равны между собой (дано).
Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис его внутренних углов, а биссектрисы делят противоположные стороны в отношении прилегающих сторон (свойство).
Причем это свойство имеет обратную силу, то есть, если прямая, проведенная из вершины угла треугольника делит противоположную сторону в отношении прилегающих сторон, то эта прямая - биссектриса
угла.
Если провести в наших треугольниках биссектрисы к общим сторонам, то
они пересекутся в точках, лежащих на этих сторонах в силу соотношений
(1), (2) и (3):
AID и DIA - в точке Н, например, а CID и DIC - в точке К. То же самое
и с другими биссектрисами.
Следовательно, точки А,Н и D лежат в одной плоскости АНD и прямые AIA и DID пересекаются.
Точно так же в плоскости АСN лежат прямые AIA и CIC, которые пересекаются.
Прямые DID и CIC лежат в плоскости DCK, и также пересекаются.
Итак, прямые AIA и DID имеют общую точку.
А прямая CIC также имеет общую точку и с прямой AIA и с прямой DID,
но лежит в другой плоскости, следовательно эта точка должна быть одной и той же общей точкой.
То же и с пересекающимися прямыми DID и ВIВ, которые лежат в
плоскости BMD.
Имеем четыре пары пересекающихся прямых (AIA и DID, AIA и CIC,
DID и CIC, DID и ВIВ), лежащих в четырех разных плоскостях (АНD,АСN,DCK и BMD соответственно).
Эти выводы справедливы для любых пар данных нам отрезков:
Если три или более прямых,лежащих в разных плоскостях, попарно
пересекаются, то они имеют одну общую точку.
Следовательно, данные нам отрезки пересекаются в одной точке.
Что и требовалось доказать.
Построение на рисунке.
Объяснение:
1. Сумма двух векторов: начало второго вектора совмещается с концом первого, сумма же этих векторов есть вектор с началом, совпадающим с началом первого, и концом, совпадающим с концом 2-го.
Разделим вектор CB на 3 равные части. Для этого проведем из точки С луч "n" и отложим на нем циркулем 3 РАВНЫХ отрезка произвольной длины. Конец B' третьего отрезка соединим с точкой В, а из концов первого и второго отрезка проведем прямые, параллельные прямой BB'. Эти прямые и разделят вектор СВ на три равные части (теорема Фалеса).
Тогда вектор СЕ = (2/3)*СВ. Из конца Е вектора СЕ проведем прямую, параллельно CD. Эта прямая пересечет сторону CD в точке F. Вектор EF равен вектору CD. Тогда вектор CF = CE+EF или
CF = (2/3)*CB + CD, что и необходимо было построить.
2. Для получения вектора разности двух векторов (c) = (a-b) начала векторов соединяются и началом вектора разности (c) будет конец вектора (b) (вычитаемое), а концом - конец вектора (a) (уменьшаемое). Тогда вектор разности векторов ВА и ВС есть вектор СА.
Разделим вектор СА на 4 равных части указанным выше используя луч СA' (добавив к 3 полученным ранее равным отрезкам четвертый BA').
Тогда вектор CG = (1/4)*СА = (1/4)*(ВА - ВС), что и необходимо было построить.