Найти сторону DC основания правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1D1C1 изображенной на рис, если её ДИАГОНАЛЬ B1D равна 13 СМ, а диагональ B1C боковой грани - 12 см

CM по условию медиана ,  тогда пусть АМ равна х , тогда МВ равна тоже х , найдем соотношения сторон треугольников АМК и АВС . 
Площадь по определению это произведение сторон на синус угла между ними , то есть , площадь треугольника АВС запишем через стороны S(ABC)=2AB*AC*sin(BAC)=75
S(AMK)=AB*AK*sin(BAC)=25 
тогда S(AMK)/S(ABC)=2AK/AC=1/3 = >  AK=2AC/3 
тогда КС =AC/3 ;

S(BMN)=BM*BN*sin(MBN)/2=15
S(ABC)=2BM*BC*sin(BMN)/2=75

S(BMN)/S(ABC)=BN/BC=2/5 => BN=2BC/5 
тогда NC=3BC/5
S(CNK)/S(ABC)=NC*KC*sin(NCK)/2/ BC*AC*sin(NKC)/2   = 1/5 
ставим наши полученные значения, то есть площадь равна  75/5 = 15 

Пусть КОСИНУС угла, из которого выходит медиана m1 = √52; равен x; а косинус другого угла y; и вторая медиана m2 = √73;
Ясно, что a = c*x; b = c*y; (c гипотенуза, a b катеты);
По теореме косинусов
m2^2 = c^2 + (a/2)^2 - 2*c*(a/2)*x;
или 73 = с^2 +a^2/4 - a^2 = c^2 - 3*a^2/4; (использовано a = c*x)
точно так же 52 = c^2 - 3*b^2/4;
если это сложить, получится 125 = 5*с^2/4; c = 10;
Теперь уже легко найти a и b
73 = c^2 - 3*a^2/4; a^2 = 36; a = 6; b = 8; получился "египетский" треугольник.
Косинус его большего острого угла равен 3/5; (а меньшего 4/5)