Найти сторону по известной 1 стороне и 2 углов

60°

Объяснение:

Дано: ΔАВС.

АО - медиана, ВН - высота.

АО = ВН.

Найти: ∠ВМО

Продлим АО за точку О на ОК=АО. Из точки К опустим перпендикуляр на продожение АС.

1. Рассмотрим ΔВОК и ΔАОС.

ВО = ОС (условие)

АО = ОК (построение)

Вертикальные углы равны.

⇒ ∠1 = ∠2

⇒ ΔВОК = ΔАОС (по двум сторонам и углу между ними. 1 признак)

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы.

⇒ ∠3 = ∠4 -накрест лежащие при ВК и АС и секущей ВС.

⇒ ВК || АС.

2. Рассмотрим НВКР.

ВК || АС (п.1)

Если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой.

⇒ ВН || КР.

При этом ВН ⊥ АР и КР ⊥АР.

⇒ НВКР - прямоугольник.

Противоположные стороны прямоугольника равны.

⇒ ВН = КР.

3. Рассмотрим ΔАКР - прямоугольный.

ВН = АО (условие)

   ВН = КР (п.2)

⇒ КР = АО

АК = 2АО (построение) ⇒ АК = 2 КР

Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

⇒ ∠КАР = 30°

4. Рассмотрим ΔАМН - прямоугольный.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠АМН = 90° - ∠КАР = 90° - 30° = 60°

∠АМН = ∠ВМО = 60°

чертеж на фото

Объяснение:

1. Доп. построение - соединим точки А и С, Е и С.

2. Рассмотрим треуг. АВС и ЕСД.

ВС=ДС по усл

АВ=ЕД по усл

уг АВС = уг ЕДС по усл

Значит, треуг. АВС= ЕСД по 1 признаку (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их элементов: нас интересуют стороны АС=ЕС, и углы ВАС=ДЕС

3. Рассмотрим треуг. АСЕ. Он равнобедренный, так как выше доказали, что АС=ЕС. Раз он равнобедренный, то углы при основании равны:

уг САЕ= уг СЕА

4. угол А = углу Е, так как

угол А =уг ВАС +уг САЕ

угол Е =уг ДЕС+уг СЕА

5. Рассмотрим треуг. АВЕ и ЕДА

АВ=ЕД по усл

АЕ - общая сторона

уг А = уг Е из п.4

Значит, треуг. АВЕ= ЕДА по 1 признаку  (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их элементов: нас интересуют стороны ВЕ=АД, ч.т.д.