В прямоугольнике ABCD проведена биссектриса угла A до пересечения со стороной BC в точке K. Отрезок AK=8 см, угол между диагоналями прямоугольника равен 30°. Найдите стороны и площадь прямоугольника ABCD.
Обозначим точку пересечения диагоналей О.
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
∆АОВ и ∆COD - равнобедренные, углы при АВ и CD равны по (180°-30°):2=75°⇒
в ∆ АВС ∠BСA=90°-75°=15°
∆ АВК - прямоугольный с острым углом ВАК=45°⇒
∠ВКА=45° ⇒ ∆ АВК равнобедренный.
АВ=АК*sin45°=(8*√2)/2=4√2 см
В ∆ АВС по т.синусов
АВ:sin15°=BC:sin75°
По таблице синусов
sin 15° =0,2588
sin75°=0,9659
4√2:0,2588=ВС:0,9659⇒
ВС=21,1127 см
S=AB•ВС=4√2•21,1127≈ 119,426 см²
------
Как вариант:
Найти из прямоугольного ∆ АВС диагональ АС:
АС=АВ:sin 15º=(4√2):0,2588
Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
S=0,5•d₁•d₂•sinφ , где
d₁ и d₂ – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними/
АВСДЕФ - шестиугольник, АВ=10, ВС=СД=ДЕ=ЕФ=АФ. В тр-ке ВОК=ВО=D/2=5√2, ВК=ВК/2=5, sin(ВОК)=ВК/ВО=5/5√2=√2/2. ∠ВОК=45°, ∠АОВ=90°. ∠ОАВ=∠ОВА=45°. В оставшейся части окружности расположено пять равных тр-ков, градусная мера центрального угла каждого из них равна: ∠ВОС=(360-90)/5=54°. ∠ОВС=(180-54)/2=63°. Градусная мера угла шестиугольника, образованного двумя равными треугольниками, равна сумме углов при основании одного из них. ∠ВСД=63+63=126°. В шестиугольнике ∠С=∠Д=∠Е=∠Ф=126° - это ответ. ∠А=∠В=∠ОВА+∠ОВС=45+63=108° - это ответ.
В прямоугольнике ABCD проведена биссектриса угла A до пересечения со стороной BC в точке K. Отрезок AK=8 см, угол между диагоналями прямоугольника равен 30°. Найдите стороны и площадь прямоугольника ABCD.
Обозначим точку пересечения диагоналей О.
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
∆АОВ и ∆COD - равнобедренные, углы при АВ и CD равны по (180°-30°):2=75°⇒
в ∆ АВС ∠BСA=90°-75°=15°
∆ АВК - прямоугольный с острым углом ВАК=45°⇒
∠ВКА=45° ⇒ ∆ АВК равнобедренный.
АВ=АК*sin45°=(8*√2)/2=4√2 см
В ∆ АВС по т.синусов
АВ:sin15°=BC:sin75°
По таблице синусов
sin 15° =0,2588
sin75°=0,9659
4√2:0,2588=ВС:0,9659⇒
ВС=21,1127 см
S=AB•ВС=4√2•21,1127≈ 119,426 см²
------
Как вариант:
Найти из прямоугольного ∆ АВС диагональ АС:
АС=АВ:sin 15º=(4√2):0,2588
Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
S=0,5•d₁•d₂•sinφ , где
d₁ и d₂ – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними/
Тогда S=0,5•{4√2):0,2588}²•0,5=≈ 119,426 см²
В тр-ке ВОК=ВО=D/2=5√2, ВК=ВК/2=5, sin(ВОК)=ВК/ВО=5/5√2=√2/2.
∠ВОК=45°, ∠АОВ=90°.
∠ОАВ=∠ОВА=45°.
В оставшейся части окружности расположено пять равных тр-ков, градусная мера центрального угла каждого из них равна: ∠ВОС=(360-90)/5=54°. ∠ОВС=(180-54)/2=63°.
Градусная мера угла шестиугольника, образованного двумя равными треугольниками, равна сумме углов при основании одного из них.
∠ВСД=63+63=126°.
В шестиугольнике ∠С=∠Д=∠Е=∠Ф=126° - это ответ.
∠А=∠В=∠ОВА+∠ОВС=45+63=108° - это ответ.