В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата лежит вершина прямоугольника, а его стороны параллельны диагоналям квадрата. Найти стороны прямоугольника, если одна из них на 6 см больше другой, а диагональ квадрата равна 30 см
Сделаем рисунок. Треугольники ВМК, АКТ, МСН и НDT - равнобедренные прямоугольные. ОА=АС:2=15 см Пусть ВК=х Тогда АК=АВ-х По известному свойству гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника АВ=15√2 АК=15√2 -х КМ=х√2 КТ=(15√2 -х )*√2=30-х√2 По условию КТ-КМ=6 см 30-х√2 -х√2=6 24=2х√2 х=24:2√2=12:√2 Умножим числитель и знаменатель на √2, чтобы избавиться от дроби: х=12:√2=(12*√2):√2*√2х=6√2 КМ=6√2*√2=12 см КТ=30-х√2=30-12=18 см КТ-КМ=18-12=6 см
Объяснение: Поскольку стороны вписанного прямоугольника параллельны диагоналям квадрата, диагональ ВD квадрата делит периметр прямоугольника на две равные половины ТКМЕ и ТРНЕ. Как известно, диагонали квадрата делят его углы пополам. При этом угловые треугольники МВН и КDР – равные прямоугольные равнобедренные, в которых ВЕ=ЕМ=ЕН и TD=ТК=РТ. Заметим, что МК+МЕ+ТК=DВ=10,5 - это длина половины периметра прямоугольника. Полный периметр прямоугольника КМНР=2•10,5=21 ( ед. длины)
Сделаем рисунок.
Треугольники ВМК, АКТ, МСН и НDT - равнобедренные прямоугольные.
ОА=АС:2=15 см
Пусть ВК=х
Тогда АК=АВ-х
По известному свойству гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника
АВ=15√2
АК=15√2 -х
КМ=х√2
КТ=(15√2 -х )*√2=30-х√2
По условию КТ-КМ=6 см
30-х√2 -х√2=6
24=2х√2
х=24:2√2=12:√2
Умножим числитель и знаменатель на √2, чтобы избавиться от дроби:
х=12:√2=(12*√2):√2*√2х=6√2
КМ=6√2*√2=12 см
КТ=30-х√2=30-12=18 см
КТ-КМ=18-12=6 см
ответ: 21 (ед. длины)
Объяснение: Поскольку стороны вписанного прямоугольника параллельны диагоналям квадрата, диагональ ВD квадрата делит периметр прямоугольника на две равные половины ТКМЕ и ТРНЕ. Как известно, диагонали квадрата делят его углы пополам. При этом угловые треугольники МВН и КDР – равные прямоугольные равнобедренные, в которых ВЕ=ЕМ=ЕН и TD=ТК=РТ. Заметим, что МК+МЕ+ТК=DВ=10,5 - это длина половины периметра прямоугольника. Полный периметр прямоугольника КМНР=2•10,5=21 ( ед. длины)