На рисунке равные элементы выделены одинаковыми цветами.
Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁: ∠А = ∠А₁ АВ = А₁В₁ АС = А₁С₁ Следовательно, ΔABC = ΔA₁B₁C₁ по двум сторонам и углу между ними. В равных треугольниках соответствующие элементы равны, отсюда: ∠В = ∠В₁ ВС = В₁С₁
Рассмотрим треугольники ABК и A₁B₁К₁: ∠В = ∠В₁ АВ = А₁В₁ ВК = В₁К₁ Следовательно, ΔABК = ΔA₁B₁К₁ по двум сторонам и углу между ними. Что и требовалось доказать.
Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁:
∠А = ∠А₁
АВ = А₁В₁
АС = А₁С₁
Следовательно, ΔABC = ΔA₁B₁C₁ по двум сторонам и углу между ними.
В равных треугольниках соответствующие элементы равны, отсюда:
∠В = ∠В₁
ВС = В₁С₁
Пусть ВС = В₁С₁ = х и СК = С₁К₁ = у, тогда:
ВК = х-у
В₁К₁ = x-y
Отсюда: ВК = В₁К₁
Рассмотрим треугольники ABК и A₁B₁К₁:
∠В = ∠В₁
АВ = А₁В₁
ВК = В₁К₁
Следовательно, ΔABК = ΔA₁B₁К₁ по двум сторонам и углу между ними. Что и требовалось доказать.
Дано:
AD || BC ;
O - точка пересечения диагоналей ;
S₁=S(AOD) =4 ;
S₂=S(BOC) =1 .
S =S(ABCD) - ?
Решение:
S(AOB) =S(ABD) - S(AOD) =S(ACD) - S(AOD) = S(DOC)
* * * т.е. AOB и DOC равновеликие треугольники * * *
Пусть S(AOB) = S(DOC) = Sₓ
S =S(ABCD) = S(AOD) +2S(AOB)+S(BOC) = S₁+2Sₓ+ S₂
очевидно :
S(AOB) / S(BOC) = AO / CO = S(AOD) / S(DOC) ⇒
* * * одинаковые высота * * *
S(AOB) /S(BOC) = S(AOD) / S(DOC)
S(AOB)*S(DOC) = S(AOD)*S(BOC)
Sₓ² =S₁*S₂ ⇒ Sₓ =√(S₁*S₂) ,
следовательно : S = S₁+2Sₓ+ S₂= S₁ +2√(S₁*S₂)+ S₂ =(√S₁+ √S₂)².
ответ : S = (√S₁+ √S₂)². * * * S=(√S₁+ √S₂)² =(√4+ √1)² =9.* * *
P.S.
Можно и решать по другому (через подобия )