15) Цена за билет для одного школьника составляет рублей (умножаем на 80 потому, что при скидке 20% от первоначальной цены билета остаётся 100-20=80%). Значит, для четырёх школьников цена составит рублей.
16) MN - средняя линия треугольника ABC, так как из условия MN || BC и AM = MB. Отсюда BC = 2MN, AM = 0.5AB, AN = 0.5AC. Периметр треугольника AMN по этим утверждениям можно записать следующим образом: . Вынеся одинаковый множитель за скобку, получим: , а так как выражение в скобках - это данный нам периметр, то периметр треугольника AMN можно выразить как половину периметра треугольника ABC, то есть, 32.
17) Угол DBC равен углу ADB (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD). Отсюда, угол DBC составляет 34°. Значит, целиком угол B составляет (48+34)° = 82°.
18) Расстояние от точки до прямой - это перпендикуляр к этой прямой. Точка пересечения диагоналей прямоугольника лежит на прямой, на которой находится его средняя линия. Получаем, что наше расстояние параллельно сторонам BC и AD прямоугольника и равно половине любой из этих сторон. Отсюда BC = AD = 8*2 = 16 см. Площадь прямоугольника ABCD равна 12*16 = 192 см².
19) , значит, отрезок нижнего основания от высоты до ближайшей боковой стороны равен 3 см. Так как высота, точка которой совпадает с началом либо концом меньшего основания, отсекает от трапеции прямоугольный треугольник с катетами, равными высоте и найденному только что отрезку, и гипотенузой, равной боковой стороне. Катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, отсюда боковая сторона равна 3*2 = 6 см. Периметр трапеции будет составлять 11+6+5+6=28 см.
20) Угол BMC равен углу ABM как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BM. Значит, треугольник BCM - равнобедренный, откуда CM = CB = 12 см. Периметр параллелограмма ABCD будет равен 2*(12+(12+5)) = 58 см. Такой же ответ получим, если предположим, что угол B - тупой и пересечение с боковой стороной падает на продолжение этой стороны.
Угол АВС — вписанный угол. Он опирается на дугу АС, заключённую между его сторонами (черт. 330). Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Это надо понимать так: вписанный угол содержит столько угловых градусов, минут и секунд, сколько дуговых градусов, минут и секунд содержится в половине дуги, на которую он опирается. При доказательстве этой теоремы надо рассмотреть три случая. Первый случай. Центр круга лежит на стороне вписанного угла (черт. 331). Пусть / АВС — вписанный угол и центр круга О лежит на стороне ВС. Требуется доказать, что он измеряется половиной дуги АС. Соединим точку А с центром круга. Получим равнобедренный /\ AОВ, в котором АО = ОВ, как радиусы одного и того же круга. Следовательно, / А = / В. / АОС является внешним по отношению к треугольнику АОВ, поэтому / АОС = / А + / В (§ 39, п. 2), а так как углы А и В равны, то / В составляет 1/2 / АОС. Но / АОС измеряется дугой АС, следовательно, / В измеряется половиной дуги АС. Например, если АС содержит 60° 18', то / В содержит 30°9'. Второй случай. Центр круга лежит между сторонами вписанного угла (черт. 332). Пусть / АВD — вписанный угол. Центр круга О лежит между его сторонами. Требуется доказать, что / АВD измеряется половиной дуги АD. Для доказательства проведём диаметр ВС. Угол АВD разбился на два угла: / 1 и / 2. / 1 измеряется половиной дуги АС, а / 2 измеряется половиной дуги СD, следовательно, весь / АВD измеряется 1/2 АС + 1/2СD, т. е. половиной дуги АD. Например, если АD содержит 124°, то / В содержит 62°. Третий случай. Центр круга лежит вне вписанного угла (черт. 333). Пусть / МАD — вписанный угол. Центр круга О находится вне угла. Требуется доказать, что / МАD измеряется половиной дуги МD. Для доказательства проведём диаметр АВ. / МАD = / МАВ— / DАВ. Но / МАВ измеряется 1/2 МВ, а / DАВ измеряется 1/2 DВ. Следовательно, / МАD измеряется1/2 (МВ — DВ), т. е. 1/2 МD. Например, если МD содержит 48° 38'16", то / МАD содержит 24° 19' 8". Следствия. 1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги (черт. 334, а). 2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр,—прямой, так как он опирается на половину окружности. Половина окружности содержит 180 дуговых градусов, значит, угол, опирающийся на диаметр, содержит 90 угловых градусов (черт. 334, б). 2. Угол, образованный касательной и хордой. Теорема. Угол, образованный касательной и хордой, измеряется половиной дуги, заключённой между его сторонами. Пусть / САВ составлен хордой СА и касательной АВ (черт. 335). Требуется доказать, что он измеряется половиной СА. Проведём через точку С прямую СD || АВ. Вписанный / АСD измеряется половиной дуги АD, но АD = СА, так как они заключены между касательной и параллельной ей хордой. Следовательно, / DСА измеряется половиной дуги СА. Так как данный / САВ = / DСА, то и он измеряется половиной дуги СА
Объяснение:
15) Цена за билет для одного школьника составляет
рублей (умножаем на 80 потому, что при скидке 20% от первоначальной цены билета остаётся 100-20=80%). Значит, для четырёх школьников цена составит 
рублей.
16) MN - средняя линия треугольника ABC, так как из условия MN || BC и AM = MB. Отсюда BC = 2MN, AM = 0.5AB, AN = 0.5AC. Периметр треугольника AMN по этим утверждениям можно записать следующим образом:
. Вынеся одинаковый множитель за скобку, получим: 
, а так как выражение в скобках - это данный нам периметр, то периметр треугольника AMN можно выразить как половину периметра треугольника ABC, то есть, 32.
17) Угол DBC равен углу ADB (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD). Отсюда, угол DBC составляет 34°. Значит, целиком угол B составляет (48+34)° = 82°.
18) Расстояние от точки до прямой - это перпендикуляр к этой прямой. Точка пересечения диагоналей прямоугольника лежит на прямой, на которой находится его средняя линия. Получаем, что наше расстояние параллельно сторонам BC и AD прямоугольника и равно половине любой из этих сторон. Отсюда BC = AD = 8*2 = 16 см. Площадь прямоугольника ABCD равна 12*16 = 192 см².
19)
, значит, отрезок нижнего основания от высоты до ближайшей боковой стороны равен 3 см. Так как высота, точка которой совпадает с началом либо концом меньшего основания, отсекает от трапеции прямоугольный треугольник с катетами, равными высоте и найденному только что отрезку, и гипотенузой, равной боковой стороне. Катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, отсюда боковая сторона равна 3*2 = 6 см. Периметр трапеции будет составлять 11+6+5+6=28 см.
20) Угол BMC равен углу ABM как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BM. Значит, треугольник BCM - равнобедренный, откуда CM = CB = 12 см. Периметр параллелограмма ABCD будет равен 2*(12+(12+5)) = 58 см. Такой же ответ получим, если предположим, что угол B - тупой и пересечение с боковой стороной падает на продолжение этой стороны.
Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Это надо понимать так: вписанный угол содержит столько угловых градусов, минут и секунд, сколько дуговых градусов, минут и секунд содержится в половине дуги, на которую он опирается.
При доказательстве этой теоремы надо рассмотреть три случая.
Первый случай. Центр круга лежит на стороне вписанного угла (черт. 331).
Пусть / АВС — вписанный угол и центр круга О лежит на стороне ВС. Требуется доказать, что он измеряется половиной дуги АС.
Соединим точку А с центром круга. Получим равнобедренный /\ AОВ, в котором АО = ОВ, как радиусы одного и того же круга. Следовательно, / А = / В. / АОС является внешним по отношению к треугольнику АОВ, поэтому / АОС = / А + / В (§ 39, п. 2), а так как углы А и В равны, то / В составляет 1/2 / АОС.
Но / АОС измеряется дугой АС, следовательно, / В измеряется половиной дуги АС.
Например, если АС содержит 60° 18', то / В содержит 30°9'.
Второй случай. Центр круга лежит между сторонами вписанного угла (черт. 332).
Пусть / АВD — вписанный угол. Центр круга О лежит между его сторонами. Требуется доказать, что / АВD измеряется половиной дуги АD.
Для доказательства проведём диаметр ВС. Угол АВD разбился на два угла: / 1 и / 2.
/ 1 измеряется половиной дуги АС, а / 2 измеряется половиной дуги СD, следовательно, весь / АВD измеряется 1/2 АС + 1/2СD, т. е. половиной дуги АD. Например, если АD содержит 124°, то / В содержит 62°.
Третий случай. Центр круга лежит вне вписанного угла (черт. 333).
Пусть / МАD — вписанный угол. Центр круга О находится вне угла. Требуется доказать, что / МАD измеряется половиной дуги МD.
Для доказательства проведём диаметр АВ. / МАD = / МАВ— / DАВ. Но / МАВ измеряется 1/2 МВ, а / DАВ измеряется 1/2 DВ. Следовательно, / МАD измеряется1/2 (МВ — DВ), т. е. 1/2 МD. Например, если МD содержит 48° 38'16", то / МАD содержит 24° 19' 8".
Следствия. 1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги (черт. 334, а).
2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр,—прямой, так как он опирается на половину окружности. Половина окружности содержит 180 дуговых градусов, значит, угол, опирающийся на диаметр, содержит 90 угловых градусов (черт. 334, б).
2. Угол, образованный касательной и хордой.
Теорема. Угол, образованный касательной и хордой, измеряется половиной дуги, заключённой между его сторонами.
Пусть / САВ составлен хордой СА и касательной АВ (черт. 335). Требуется доказать, что он измеряется половиной СА. Проведём через точку С прямую СD || АВ. Вписанный / АСD измеряется половиной дуги АD, но АD = СА, так как они заключены между касательной и параллельной ей хордой. Следовательно, / DСА измеряется половиной дуги СА. Так как данный / САВ = / DСА, то и он измеряется половиной дуги СА