Основание высоты правильной четырёхугольной пирамиды - точка пересечения диагоналей основания (квадрата). Эта же точка - центр вписанной в квадрат и описанной вокруг него окружности.
О - точка пересечения диагоналей, Н - середина стороны АD.
1).
BD - диагональ квадрата.
Высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания, ⇒ МО перпендикулярна любой прямой, проходящей через т.О.
∆ МОD - прямоугольный. OD=ВD/2.
OD=√(DM² -MO² )=√(100-36)=8⇒
BD=16 - диагональ основания
2)
ОВ=ОА, ∠ВОА=90°, ⇒ АВ=ВО•√2=8√2 – сторона основания.
3)
Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны. r=AB:2=8√2):2=4√2
4)
Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен половине его диагонали. R=OD=8;
Получатся три подобные фигуры... верхняя пирамидка (самая маленькая) (объем V1), сама собственно вся целая пирамида (объем V) и средняя пирамида, состоящая из двух частей: верхней пирамидки+усеченной пирамиды (серединки) (обозначим ее объем V2) искомый объем равен разности объемов V2 - V1. объемы подобных фигур относятся как куб коэффициента подобия k³)) коэффициент подобия задает отношение высот: верхняя пирамидка (самая маленькая) (обозначим высоту Н), сама собственно вся целая пирамида (высота 3Н) и средняя пирамида, состоящая из двух частей (высота 2Н)... высота усеченной пирамиды тоже Н. поэтому V : V1 = (3 : 1)³ V = 27*V1 ---> V1 = V / 27 V : V2 = (3 : 2)³ V = (27/8)*V2 ---> V2 = 8*V / 27 искомый объем: V2 - V1 = (⁸/₂₇ - ¹/₂₇)*V = (7 / 27)*V
Основание высоты правильной четырёхугольной пирамиды - точка пересечения диагоналей основания (квадрата). Эта же точка - центр вписанной в квадрат и описанной вокруг него окружности.
О - точка пересечения диагоналей, Н - середина стороны АD.
1).
BD - диагональ квадрата.
Высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания, ⇒ МО перпендикулярна любой прямой, проходящей через т.О.
∆ МОD - прямоугольный. OD=ВD/2.
OD=√(DM² -MO² )=√(100-36)=8⇒
BD=16 - диагональ основания
2)
ОВ=ОА, ∠ВОА=90°, ⇒ АВ=ВО•√2=8√2 – сторона основания.
3)
Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны. r=AB:2=8√2):2=4√2
4)
Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен половине его диагонали. R=OD=8;
5)
Все боковые грани правильной пирамиды равны.
КН║АВ, КН=АВ;
OН=КН/2; Н - середина АD, МН - апофема грани AMD.
Из ∆ МОН по т.Пифагора
МН=√ (МО²+ОН²)=√68=2√17- апофема.
верхняя пирамидка (самая маленькая) (объем V1),
сама собственно вся целая пирамида (объем V) и
средняя пирамида, состоящая из двух частей: верхней пирамидки+усеченной пирамиды (серединки) (обозначим ее объем V2)
искомый объем равен разности объемов V2 - V1.
объемы подобных фигур относятся как куб коэффициента подобия k³))
коэффициент подобия задает отношение высот:
верхняя пирамидка (самая маленькая) (обозначим высоту Н),
сама собственно вся целая пирамида (высота 3Н) и
средняя пирамида, состоящая из двух частей (высота 2Н)...
высота усеченной пирамиды тоже Н.
поэтому V : V1 = (3 : 1)³
V = 27*V1 ---> V1 = V / 27
V : V2 = (3 : 2)³
V = (27/8)*V2 ---> V2 = 8*V / 27
искомый объем: V2 - V1 = (⁸/₂₇ - ¹/₂₇)*V = (7 / 27)*V