Сначала построим угол между плоскостью и плоскостью квадрата: пусть плоскость проведена через сторону квадрата АВ, в плоскости опустим перпендикуляр к АВ в точке В и из вершины квадрата С опустим перпендикуляр на плоскость (СС1) ---получим прямоугольный треугольник ВС1С и в нем угол С1ВС = 45 градусов по условию, этот треугольник равнобедренный (ВС1=СС1) угол между прямой и плоскостью ---это угол между прямой и ее проекцией на плоскость... проекцией диагонали АС будет отрезок АС1 нужно найти величину угла С1АС в прямоугольном треугольнике АС1С если сторона квадрата (а), то СС1 можно найти по т.Пифагора: a^2 = 2(CC1)^2 CC1 = a / V2 диагональ квадрата АС = а*V2 по определению синуса sin(C1AC) = C1C / AC sin(C1AC) = a / (V2 * a*V2) = 1/2 следовательно угол С1АС = 30 градусов...
AB = CD => AB || CD, |AB|=|CD| соеденим точки A и C, B и D Получился параллелограмм так как у четырехугольника две противоположные стороны равны и параллельны. По св-ву параллелограмма, диагонали паралл. точкой пересеч-я делятся пополам. Тогда так как AD, BC - диагонали, то середины этих отрезков совпадают в точке их пересечения. Обратное утв-ие: Если середины отрезков AD и ВС совпадают, то вектор АВ= вектору СD Док-во: Достроим до 4-угольника ABCD, AD, BC-диагонали. Тогда У четырехугольника диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно это параллелограмм. Тогда AB = CD так как их длины равны, как противоположные стороны параллелограмма, и направлены они параллельно в одну сторону.
пусть плоскость проведена через сторону квадрата АВ,
в плоскости опустим перпендикуляр к АВ в точке В и из вершины квадрата С опустим перпендикуляр на плоскость (СС1) ---получим прямоугольный треугольник ВС1С и в нем угол С1ВС = 45 градусов по условию, этот треугольник равнобедренный (ВС1=СС1)
угол между прямой и плоскостью ---это угол между прямой и ее проекцией на плоскость... проекцией диагонали АС будет отрезок АС1
нужно найти величину угла С1АС в прямоугольном треугольнике АС1С
если сторона квадрата (а), то СС1 можно найти по т.Пифагора:
a^2 = 2(CC1)^2
CC1 = a / V2
диагональ квадрата АС = а*V2
по определению синуса sin(C1AC) = C1C / AC
sin(C1AC) = a / (V2 * a*V2) = 1/2
следовательно угол С1АС = 30 градусов...
соеденим точки A и C, B и D
Получился параллелограмм так как у четырехугольника две противоположные стороны равны и параллельны. По св-ву параллелограмма, диагонали паралл. точкой пересеч-я делятся пополам. Тогда так как AD, BC - диагонали, то середины этих отрезков совпадают в точке их пересечения.
Обратное утв-ие:
Если середины отрезков AD и ВС совпадают, то вектор АВ= вектору СD
Док-во:
Достроим до 4-угольника ABCD, AD, BC-диагонали. Тогда У четырехугольника диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно это параллелограмм.
Тогда AB = CD так как их длины равны, как противоположные стороны параллелограмма, и направлены они параллельно в одну сторону.