ОЧЕНЬ ! ABCD – параллелограмм. Найдите координаты вершины D, если A(3; 1), B(7; 4) и C(4; 0). Является ли ABCD еще
и ромбом?

Пусть точка касания двух окружностей  К , эта одна из вершин ,  две другие
  A∈(O₁;R₁) , B ∈ (O₂;R₂) .
Длина стороны правильного треугольника  обозначаем через  x (KA=KB=AB =x).
Из ΔO₁KA :    x = 2R₁cosα  ;
Из ΔO₂KB:     x =2R₂cosβ ;
2R₁cosα =2R₂cosβ  , но  α+β +60° =180° ⇒ β =120° -α .
R₁cosα = R₂cos(120° -α) ;
14cosα =77(cos120°cosα +sin120°sinα) ;
2cosα = 11( -cosα/2 +√3/2*sinα) ;
4cosα = -11cosα+11√3*sinα ;
15cosα =11√3sinα ;
tqα =5√3/11 ⇒ cosα= 1/√(1+tq²α) =1/√(1+(5√3/11)²) =1/√((121+75)/11²) =11/14.
окончательно  :
x = 2R₁cosα =2*14*11/14 =22.
ответ:   22.

Сторона равностороннего треугольника  А3= R√3(через радиус описанной окружности).                                                                                                         Значит, А3= 10√3*√3= 30. Сторона равностороннего треугольника А3 = 2r√3 (через радиус вписанной окружности).
Выражаем радиус вписанной окружности:                                                                                                                   r = А3 / 2√3 r = 30 / 2√3 = 15/√3= 15√3/ 3 = 5√3
ответ: радиус вписанной окружности равен 5√3.