Прямокутник і квадрат рівновеликі (мають однакову площу). Сторона квадрата дорівнює 12 см, а сторони прямокутника відносяться як 4:9. Знайти сторони прямокутника
Я постарался нарисовать максимально близко к условию. Окружность проходит через точку G на медиане CC1, 2*C1G = CG; и через концы средней линии MN. Так как точка C2 (пересечения MN и CC1) лежит посредине CC1, то GC2 = CG - CC2 = CC1*(2/3) - CC1*(1/2) = CC1/6 = CC2/3; Если обозначить GC2 = q; то CC2 = 3*q; Пусть также MC2 = NC2 = m; (по условию m = 1); R - радиус окружности, R = 41/9; CP = y; C2P = x; C2O = d; по смыслу y = h/2; h - высота треугольника ABC; 1) по свойству пересекающихся хорд MC2*NC2 = CC2*GC2; или m^2 = 3*q^2; 2) OC^2 = C2P^2 + (C2O - CP)^2; или R^2 = x^2 + (d - y)^2; 3) C2N^2 + C2O^2 = ON^2; или R^2 = d^2 + m^2; 4) C2C^2 = C2P^2 + CP^2; или q^2 = x^2 + y^2; откуда 3*m^2 = x^2 + y^2; Из 2) получается R^2 - d^2 = x^2 + y^2 - 2*d*y; или, с учетом 3) и 4) m^2 = 3*m^2 - 2*y*d; То есть y*d = m^2; Дальше уже нет смысла "тащить" формулы в общем виде. Из 2) легко найти d = 40/9; (тут Пифагорова тройка 9,40,41), и получается y = 9/40; h = 9/20; Площадь ABC S = 4*(9/20)/2 = 9/10;
Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне. А так как она является диагональю, то основание равно боковой стороне. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции равна полуразности длин оснований. На основании этих данных составляем систему уравнений: Обозначим х - верхнее основание, а - боковые стороны и нижнее основание. х = 42 - 3а а² = 12² + ((а-х)/2)². Подставив х из 1 уравнения во второе и приведя к общему знаменателю, получаем: 3а²+2а(42-3а)-(42-3а)²-144*4=0. Квадратное уравнение, решаем относительно a: Ищем дискриминант:D=336^2-4*(-12)*(-2340)=112896-4*(-12)*(-2340)=112896-(-4*12)*(-2340)=112896-(-48)*(-2340)=112896-(-48*(-2340))=112896-(-(-48*2340))=112896-(-(-112320))=112896-112320=576; Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: a_1=(2root576-336)/(2*(-12))=(24-336)/(2*(-12))= = -312/(2*(-12))=-312/(-2*12)=-312/(-24)=-(-312/24)=-(-13)=13; a_2=(-2root576-336)/(2*(-12))=(-24-336)/(2*(-12))= = -360/(2*(-12))=-360/(-2*12)=-360/(-24)=-(-360/24)=-(-15)=15. Второй корень не принимаем, так как периметр трапеции больше 42. Тогда меньшее основание равно 42 - 3*13 = 42 - 39 = 3.
Окружность проходит через точку G на медиане CC1, 2*C1G = CG; и через концы средней линии MN. Так как точка C2 (пересечения MN и CC1) лежит посредине CC1, то GC2 = CG - CC2 = CC1*(2/3) - CC1*(1/2) = CC1/6 = CC2/3;
Если обозначить GC2 = q; то CC2 = 3*q;
Пусть также MC2 = NC2 = m; (по условию m = 1); R - радиус окружности, R = 41/9;
CP = y; C2P = x; C2O = d; по смыслу y = h/2; h - высота треугольника ABC;
1) по свойству пересекающихся хорд MC2*NC2 = CC2*GC2; или m^2 = 3*q^2;
2) OC^2 = C2P^2 + (C2O - CP)^2; или R^2 = x^2 + (d - y)^2;
3) C2N^2 + C2O^2 = ON^2; или R^2 = d^2 + m^2;
4) C2C^2 = C2P^2 + CP^2; или q^2 = x^2 + y^2; откуда 3*m^2 = x^2 + y^2;
Из 2) получается R^2 - d^2 = x^2 + y^2 - 2*d*y; или, с учетом 3) и 4)
m^2 = 3*m^2 - 2*y*d;
То есть y*d = m^2;
Дальше уже нет смысла "тащить" формулы в общем виде. Из 2) легко найти d = 40/9; (тут Пифагорова тройка 9,40,41), и получается y = 9/40; h = 9/20;
Площадь ABC S = 4*(9/20)/2 = 9/10;
Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции равна полуразности длин оснований.
На основании этих данных составляем систему уравнений:
Обозначим х - верхнее основание,
а - боковые стороны и нижнее основание.
х = 42 - 3а
а² = 12² + ((а-х)/2)².
Подставив х из 1 уравнения во второе и приведя к общему знаменателю, получаем: 3а²+2а(42-3а)-(42-3а)²-144*4=0.
Квадратное уравнение, решаем относительно a:
Ищем дискриминант:D=336^2-4*(-12)*(-2340)=112896-4*(-12)*(-2340)=112896-(-4*12)*(-2340)=112896-(-48)*(-2340)=112896-(-48*(-2340))=112896-(-(-48*2340))=112896-(-(-112320))=112896-112320=576;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
a_1=(2root576-336)/(2*(-12))=(24-336)/(2*(-12))=
= -312/(2*(-12))=-312/(-2*12)=-312/(-24)=-(-312/24)=-(-13)=13;
a_2=(-2root576-336)/(2*(-12))=(-24-336)/(2*(-12))=
= -360/(2*(-12))=-360/(-2*12)=-360/(-24)=-(-360/24)=-(-15)=15.
Второй корень не принимаем, так как периметр трапеции больше 42.
Тогда меньшее основание равно 42 - 3*13 = 42 - 39 = 3.