∠CAD=∠AEB=α (первый угол между касательной и хордой, второй вписанный); ∠BAE=∠ACB=β по тем же причинам ⇒ΔABC подобен ΔEBA. Пусть коэффициент подобия равен k, тогда площади треугольников относятся как k^2, а поскольку площадь 4-угольника ACBE, состоящего из этих треугольников, относится к площади первого как 5 к 1, то площадь второго относится к площади первого как 4 к 1, а тогда коэффициент подобия равен 2 ⇒AB:BC=2:1
Второй вопрос корректен при условии, что речь идет о векторах. Так и будем считать. Поскольку по доказанному AB:BC=2:1 (сейчас мы их рассматриваем как стороны первого Δ), стороны второго относятся так же, BE:AB=2:1. Поскольку биссектриса делит сторону на отрезки, пропорциональные боковым сторонам, ED/DA=2/1.
1) ГМТ плоскости, равноудаленных от 3 точек есть центр описанной окружности треугольника, составленного из этих 3 точек (для объема - прямая, проходящая через данную точку плоскости перпендикулярно этой плоскости). В данном случае, трапеция вписана в окружность ввиду того, что она равнобедренная. Поэтому ГМТ - центр описанной окружности. По известной формуле находим диагональ равнобедренной трапеции (не зная формулы можно посчитать косинусы/синусы углов трапеции и через теорему синусов или теорему косинусов получить длину диагонали) Где c - длина боковой стороны, а a и b - длины оснований. Наибольший угол трапеции равен 120° (Проводим из вершины меньшего основания перпендикуляр к большему. Видим прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 1 и катетом равным 0.5. Значит видим угол 30°. Считаем те углы, что надо и 120° замечательно выходит). По теореме синусов(расширенной): из этого
2) ГМТ 3-мерного пространства, равноудаленных от 3 точек есть прямая, проходящая через центр описанной окружности треугольника, составленного из этих 3 точек перпендикулярно плоскости этих 3 точек. Выберем 3 точки из 4 и проведем эту прямую. На этой прямой существует лишь 1 точка, равноудаленная от 4 данных (Функция разности расстояний от точки не из выбранных 3 до точки на прямой и от точки из выбранных 3 до этой же точки на примой непрерывна) Проведем 2 плоскости: через наши 3 точки и еще одну через оставшуюся, параллельно первой плоскости. Относительно первой плоскости: Точки прямой из той полуплоскости, где не лежит четвертая точка имеют до четвертой точки расстояние больше, чем до трех первых, поэтому значение указанной функции < 0. Для второй плоскости обратный случай. По полной аналогии значение функции >0. Функция непрерывна (а между данными плоскостями еще и монотонна), значит решение ровно одно.
3) ГМТ, лежащих на расстоянии R от плоскости есть пара параллельных данной плоскостей.
Три плоскости, параллельные трем различным из данных пересекаются в одной точке. Точка пересечения соответствует необходимым условиям. Итого: Выбираем три из 4 плоскостей выбираем одну из 2 параллельных для каждой из них Получаем 4*8=32 точки. Проверяем, какие из точек могли совпасть: Для каждой тройки плоскостей мы посчитали центр вписанной сферы (-4 точки). Больше нет. Итог: 28 точек
5) Проведем через одну из этих прямых плоскость параллельно другой прямой. ГМТ середин отрезков длины 13, концы которых лежат на разных данных скрещивающихся прямых располагаются на плоскости, параллельной уже построенной и лежащей на расстоянии 2.5 от нее. Итак, введем оси: x вдоль второй прямой и у перпендикулярно ей. В самых "крайних" точках: , y = 0 x = 0, (смотрим пока только одну четверть)
Значит ГМТ: окружность с радиусом 6. Длина кривой, деленная на π равна 36
Второй вопрос корректен при условии, что речь идет о векторах. Так и будем считать. Поскольку по доказанному AB:BC=2:1 (сейчас мы их рассматриваем как стороны первого Δ), стороны второго относятся так же, BE:AB=2:1. Поскольку биссектриса делит сторону на отрезки, пропорциональные боковым сторонам, ED/DA=2/1.
Теперь равенства будут векторные.
AB=AE+EB=(3/2)DE-BE⇒p= - 1; q=3/2
ГМТ плоскости, равноудаленных от 3 точек есть центр описанной окружности треугольника, составленного из этих 3 точек (для объема - прямая, проходящая через данную точку плоскости перпендикулярно этой плоскости). В данном случае, трапеция вписана в окружность ввиду того, что она равнобедренная. Поэтому ГМТ - центр описанной окружности.
По известной формуле находим диагональ равнобедренной трапеции (не зная формулы можно посчитать косинусы/синусы углов трапеции и через теорему синусов или теорему косинусов получить длину диагонали)
Где c - длина боковой стороны, а a и b - длины оснований.
Наибольший угол трапеции равен 120° (Проводим из вершины меньшего основания перпендикуляр к большему. Видим прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 1 и катетом равным 0.5. Значит видим угол 30°. Считаем те углы, что надо и 120° замечательно выходит).
По теореме синусов(расширенной):
из этого
2)
ГМТ 3-мерного пространства, равноудаленных от 3 точек есть прямая, проходящая через центр описанной окружности треугольника, составленного из этих 3 точек перпендикулярно плоскости этих 3 точек. Выберем 3 точки из 4 и проведем эту прямую. На этой прямой существует лишь 1 точка, равноудаленная от 4 данных (Функция разности расстояний от точки не из выбранных 3 до точки на прямой и от точки из выбранных 3 до этой же точки на примой непрерывна) Проведем 2 плоскости: через наши 3 точки и еще одну через оставшуюся, параллельно первой плоскости.
Относительно первой плоскости:
Точки прямой из той полуплоскости, где не лежит четвертая точка имеют до четвертой точки расстояние больше, чем до трех первых, поэтому значение указанной функции < 0. Для второй плоскости обратный случай. По полной аналогии значение функции >0. Функция непрерывна (а между данными плоскостями еще и монотонна), значит решение ровно одно.
3)
ГМТ, лежащих на расстоянии R от плоскости есть пара параллельных данной плоскостей.
Три плоскости, параллельные трем различным из данных пересекаются в одной точке. Точка пересечения соответствует необходимым условиям.
Итого: Выбираем три из 4 плоскостей выбираем одну из 2 параллельных для каждой из них Получаем 4*8=32 точки. Проверяем, какие из точек могли совпасть:
Для каждой тройки плоскостей мы посчитали центр вписанной сферы (-4 точки). Больше нет.
Итог: 28 точек
5)
Проведем через одну из этих прямых плоскость параллельно другой прямой.
ГМТ середин отрезков длины 13, концы которых лежат на разных данных скрещивающихся прямых располагаются на плоскости, параллельной уже построенной и лежащей на расстоянии 2.5 от нее.
Итак, введем оси: x вдоль второй прямой и у перпендикулярно ей.
В самых "крайних" точках:
x = 0,
(смотрим пока только одну четверть)
Значит ГМТ:
окружность с радиусом 6.
Длина кривой, деленная на π равна 36