Определите вид треугольника с вершинами a(3; 0) b(1; 5) c(2; 1)​

Легко можно показать , что ∠BAC =90°. Соединяем точка D с вершиной C треугольника ABC.  ∠CAD =∠90° ⇒CD диаметр окружности описанной около треугольника  CAD.  DC⊥BC (BC касательная ; радиус ⊥ касательной в точке касания ). В треугольнике BCD  BC и CD катеты ,
BD-гипотенуза , CA высота опущенная на гипотенузе.
Известно AC² =AB*AD  ⇒AC  =√(5*4) =2√5 .
Из ΔCAD по теореме Пифагора:  CD =√(AC² +AD²) =√(20 +25) =3√5.
CD  =2R₂⇒ R₂ =CD/2 = 3√5 / 2.
Аналогично продолжая CD до  точки E пересечения с первой окружности можно определить радиус первой окружности _R₁.
---
Или BC =2√R₁*R₂.⇔BC² =4*R₁*R₂.⇔BA²+AC² =4*R₁*R₂⇔
4²+20 =4R₁*3√5 / 2⇒R₁ =6/√5 = 6√5 / 5 .

Удивительно, но эта такая сложная по формулировке задача решается в одно действие.
Угол между высотами, выходящими (например, тут полный произвол в обозначениях) из вершин углов A и B; равен 180 - С;
Это можно просто сосчитать, как 180 - (90 - A) - (90 - B) = A + B = 180 - C;
а можно просто заметить, что четырехугольник, образованный сторонами угла С и высотами (ну кусочками), выходящими из углов A и B, очевидно является вписанным (да даже еще проще - в нем два угла прямых).
а можно просто заметить, что у угла С и угла между высотами СТОРОНЫ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ. :)
Поэтому в обоих треугольниках напротив общей их стороны AB лежат углы, синусы которых равны.
Поэтому (по теореме синусов) равны радиусы окружностей, описанных вокруг этих треугольников.