Давайте сначала рассмотрим две точки и посмотрим, при каких условиях прямая будет равноудалена от них (первый рисунок). Я утверждаю, что так будет, если или она параллельна отрезку, соединяющему эти точки, или проходит через середину этого отрезка.
Доказательство несложно: если прямая параллельна отрезку, то расстояние от неё до любой точки отрезка одинаково; в противном случае она пересекает прямую, содержащую отрезок. Но вне отрезка она пересечь не может - см. нижний рисунок, отрезки AHa, BHb не равны, поэтому она пересекает в некоторой точке C, принадлежащей отрезку (смотрим на верхний рисунок). Опустим из точек перпендикуляры на прямую. Прямая равноудалена от точек, поэтому AHa = BHb. Кроме того, равны углы ACHa и BCHb - вертикальные. Отсюда прямоугольные треугольники ACHa и BCHb равны по катету и острому углу, и AC = CB.
Теперь возвращаемся к задаче. Будем думать, что нам даны вершины треугольника ABC. Искомая прямая не может быть параллельна более, чем одной стороне треугольника, две стороны она точно пересекает в середине. Значит, это средняя линия треугольника. Легко проверить, что средняя линия удовлетворяет условию.
ответ. (Второй рисунок) Искомая прямая - средняя линия треугольника, образованного данными точками. Задача имеет три решения - по числу средних линий.
Дано : <ABC = <ABD =<CBD =90; AB =1 ; BC =3 ; CD =4 . 1) а) проекцию BD на плоскость ABC = 0, т.к . BD ┴ (ABC) DC┴ BA DC ┴ BC); б) AB ┴ (DBC) т.к . AB┴ BD и AB┴ BC. Значит <ADB это угол между прямой AD и плоскостью DBC следовательно : из ΔADB : sin (<ADB) =AB/AD . ΔCBD : DB = √(DC² -BC²) =√(4² -3²) =√7. ΔABD : AD =√(DB² +AB²) =√(7 +1) =2√2 .
sin (<ADB) =AB/AD =1/(2√2) =(√2 ) /4 .
г) (BCD) перпендикулярно (BCA) BCD проходит по прямой BD которая ┴( ABC) .
2) ABCD_ ромб ; AB=BC =CD =DA = BH =b ; < A =< C =60° ; HB ┴(BAC) или тоже самое HB ┴(ABCD) а) Определите угол между плоскостями: BHC и DBY . Y --- неизвестно Определить угол между плоскостями: BHC и DBH : (BHC) ^ (DBH) = <DBE =60° . DB ┴ BH ,CB┴ BH лин. угол [ HB ┴((ABCD)⇒HB ┴BD б) Определить угол между плоскостями DНC и BAC . В ΔHDC проведем HE ┴ CD ( E∈ [CD] ) и E соединим с вершиной B. <BEH будет искомый угол ; tq(<BEH) =BH/BE = b :(b*√3)/2 =2/√3 ; [Δ BEC : B E =BC*sin60°=b*√3/2 ] .
Доказательство несложно: если прямая параллельна отрезку, то расстояние от неё до любой точки отрезка одинаково; в противном случае она пересекает прямую, содержащую отрезок. Но вне отрезка она пересечь не может - см. нижний рисунок, отрезки AHa, BHb не равны, поэтому она пересекает в некоторой точке C, принадлежащей отрезку (смотрим на верхний рисунок).
Опустим из точек перпендикуляры на прямую. Прямая равноудалена от точек, поэтому AHa = BHb. Кроме того, равны углы ACHa и BCHb - вертикальные. Отсюда прямоугольные треугольники ACHa и BCHb равны по катету и острому углу, и AC = CB.
Теперь возвращаемся к задаче. Будем думать, что нам даны вершины треугольника ABC. Искомая прямая не может быть параллельна более, чем одной стороне треугольника, две стороны она точно пересекает в середине. Значит, это средняя линия треугольника. Легко проверить, что средняя линия удовлетворяет условию.
ответ. (Второй рисунок) Искомая прямая - средняя линия треугольника, образованного данными точками. Задача имеет три решения - по числу средних линий.
1)
а) проекцию BD на плоскость ABC = 0, т.к . BD ┴ (ABC) DC┴ BA DC ┴ BC);
б) AB ┴ (DBC) т.к . AB┴ BD и AB┴ BC.
Значит <ADB это угол между прямой AD и плоскостью DBC
следовательно :
из ΔADB : sin (<ADB) =AB/AD .
ΔCBD : DB = √(DC² -BC²) =√(4² -3²) =√7.
ΔABD : AD =√(DB² +AB²) =√(7 +1) =2√2 .
sin (<ADB) =AB/AD =1/(2√2) =(√2 ) /4 .
г) (BCD) перпендикулярно (BCA)
BCD проходит по прямой BD которая ┴( ABC) .
2) ABCD_ ромб ;
AB=BC =CD =DA = BH =b ; < A =< C =60° ; HB ┴(BAC) или тоже самое
HB ┴(ABCD)
а) Определите угол между плоскостями: BHC и DBY .
Y --- неизвестно
Определить угол между плоскостями: BHC и DBH :
(BHC) ^ (DBH) = <DBE =60° . DB ┴ BH ,CB┴ BH лин. угол [ HB ┴((ABCD)⇒HB ┴BD
б) Определить угол между плоскостями DНC и BAC .
В ΔHDC проведем HE ┴ CD ( E∈ [CD] ) и E соединим с вершиной B.
<BEH будет искомый угол ;
tq(<BEH) =BH/BE = b :(b*√3)/2 =2/√3 ; [Δ BEC : B E =BC*sin60°=b*√3/2 ] .
<BEH = arctq(2/√3).