Основание прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Найдите объём параллелепипеда, если его высота равна 4 см, а диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45 градусов

Если гипотенуза АВ параллельна оси Ох, то точки А и В - противоположные.
A(-x1; y1); B(x1; y1); |AB| = 2x1
Точка С лежит между ними. C(x2; y2); -x1 < x2 < x1
|AC|^2 = (x2+x1)^2 + (y1-y2)^2
|BC|^2 = (x2-x1)^2 + (y1-y2)^2
По теореме Пифагора
|AC|^2 + |BC|^2 = |AB|^2
(x2+x1)^2 + (y1-y2)^2 + (x2-x1)^2 + (y1-y2)^2 = 4x1^2
x2^2 + 2x1*x2 + x1^2 + 2(y1-y2)^2 + x2^2 - 2x1*x2 + x1^2 - 4x1^2 = 0
2x2^2 + 2(y1-y2)^2 - 2x1^2 = 0
x2^2 + (y1-y2)^2 - x1^2 = 0
 (y1 - y2)^2 = x1^2 - x2^2
Вспомним, что это парабола y = x^2, и y1 = x1^2; y2 = x2^2
(x1^2 - x2^2)^2 = x1^2 - x2^2
Число равно своему квадрату, значит, оно равно 0 или 1.
(x1^2 - x2^2) = (y1 - y2) = 0 или 1
Но 0 разность ординат точек А и С равняться не может, значит, 
y1 - y2 = 1
Но разность ординат - это и есть высота треугольника.

6. DB = 13см

Объяснение:

#5

∆ЕОМ = ∆КОМ по 1 признаку (ЕО=ОК; ЕМ=КМ; <ЕОМ= <КОМ) => <ОМЕ = <КМО (как соответствующие элементы)

∆ЕСМ = ∆КСМ по 1 признаку (ЕМ=КМ; СМ- общая; <ЕМС = <КМС)

Что и требовалось доказать

#6

1) Из чертежа мы видим, что <ОАВ = <ОВА => ∆ОАВ - р/б => ОА=ОВ

Раз <САВ = <DBA и <ОАВ = <ОВА => <САО= <DBO

∆САО = ∆DBO по 2 признаку (АО=ОВ; <САО = <DBO; <СОА = <DOВ как вертикальные)

Что и требовалось доказать

2) Из доказанного выше: ∆САО = ∆DBO => CA=DB (как соответствующие элементы) => DB=13см