Основание прямой призмы– треугольник со сторонами 3м, 4м, 5м, а высота призмы - 12м. Вычислить площадь основания и площадь боковой поверхности призмы.
а) Доказательство, что AM — биссектриса угла BAC, вытекает из равенства соответствующих углов при параллельных прямых и секущей.
б) Найдите площадь трапеции AMBD , если площадь треугольника ABC равна 216 и известно отношение AC:AB=5:4. Биссектриса АМ делит треугольник АВС на части, пропорциональные отрезкам ВМ и МС, которые в свою очередь пропорциональны сторонам АВ и АС по свойству биссектрисы. S(АМС) = (216*5)/9 = 24*5 = 120 кв.ед. ∆ AMC подобен ∆CBD с коэффициентом подобия k=AC:DC=5:9. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату их коэффициента подобия - k²=25/81. S AMC:S BDC = 25/81, откуда S BDC =120•81:25 = 388,8. Тогда S AMBD = S∆BCD - S∆AMC = 268,8.
1)Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника: биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Пусть дан треугольник АВС: АВ=ВС, АМ- биссектриса. Тогда ВМ=25см, МС=30 см или ВМ=30 см, МС=25. Но в любом случае ВС=25+30=55 (см) По свойству биссектрисы АС: АВ= МС:ВМ а)ВМ=25 см, МС=30 см, тогда АС:АВ=30/25, АС:АВ=6/5. Обозначим АС=6х, АВ=5х Но АВ=ВС, 5х=55, х=11, тогда АС=66.
сos A=cos C=33|55=3|5>cos 60⁰=0,5. Угол А меньше 60⁰
Рассмотрим треугольник АВК ( ВК- высота ΔАВС): По свойству биссектрисы угла А треугольника АВК: АВ:АК=ВT:TK (T- точка пересечения биссектрисы угла А с высотой ВК) АВ=55см, АК=33 см, тогда BT:TK=55:33 или биссектриса делит высоту в отношении 5:3. б) ВМ=30 см, МС=25 см, тогда АС:АВ=25/30, АС:АВ=5/6, АС=5х, АВ=6х, АВ=ВС=55 см. 6х=55, х=55/6 . АС=275/6 АК=275/12 cos A= AK/АВ=275/(55*12)=5/12<0,5= cos 60⁰ значит угол А больше 60⁰ и этот случай не рассматриваем.
ответ 1) 5:3
2) Рассмотрим треугольник АВС: АВ=ВС. ВК- высота. ВT=25 см, ТК=7 см. Точка Т - равноудалена от концов боковой стороны, то есть АТ=ВТ=25 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник АТК: АТ=25 см, ТК=7 см. По теореме Пифагора найдем АК²=АТ²-ТК²=25²-7²=(25-7)(25+7)=18·32=24², АК=24 см Тогда основание АС=2АК=48 см, высота ВК=25+7=32 (см) По теореме Пифагора АВ²=АК²+ВК²=24²+32²=1600=40². Боковая сторона треугольника 40 см, основание 48 см. Периметр 40+40+48=128 см ответ. Р=128 см.
б) Найдите площадь трапеции AMBD , если площадь треугольника ABC
равна 216 и известно отношение AC:AB=5:4.
Биссектриса АМ делит треугольник АВС на части, пропорциональные отрезкам ВМ и МС, которые в свою очередь пропорциональны сторонам АВ и АС по свойству биссектрисы.
S(АМС) = (216*5)/9 = 24*5 = 120 кв.ед.
∆ AMC подобен ∆CBD с коэффициентом подобия k=AC:DC=5:9.
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату их коэффициента подобия - k²=25/81.
S AMC:S BDC = 25/81, откуда S BDC =120•81:25 = 388,8.
Тогда S AMBD = S∆BCD - S∆AMC = 268,8.
Пусть дан треугольник АВС: АВ=ВС, АМ- биссектриса.
Тогда ВМ=25см, МС=30 см или ВМ=30 см, МС=25. Но в любом случае ВС=25+30=55 (см)
По свойству биссектрисы АС: АВ= МС:ВМ
а)ВМ=25 см, МС=30 см, тогда АС:АВ=30/25, АС:АВ=6/5.
Обозначим АС=6х, АВ=5х
Но АВ=ВС, 5х=55, х=11, тогда АС=66.
сos A=cos C=33|55=3|5>cos 60⁰=0,5.
Угол А меньше 60⁰
Рассмотрим треугольник АВК ( ВК- высота ΔАВС):
По свойству биссектрисы угла А треугольника АВК:
АВ:АК=ВT:TK (T- точка пересечения биссектрисы угла А с высотой ВК)
АВ=55см, АК=33 см, тогда BT:TK=55:33 или биссектриса делит высоту в отношении 5:3.
б) ВМ=30 см, МС=25 см, тогда АС:АВ=25/30, АС:АВ=5/6,
АС=5х, АВ=6х, АВ=ВС=55 см. 6х=55, х=55/6 . АС=275/6 АК=275/12
cos A= AK/АВ=275/(55*12)=5/12<0,5= cos 60⁰
значит угол А больше 60⁰ и этот случай не рассматриваем.
ответ 1) 5:3
2) Рассмотрим треугольник АВС: АВ=ВС. ВК- высота. ВT=25 см, ТК=7 см.
Точка Т - равноудалена от концов боковой стороны, то есть АТ=ВТ=25 см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АТК: АТ=25 см, ТК=7 см. По теореме Пифагора найдем АК²=АТ²-ТК²=25²-7²=(25-7)(25+7)=18·32=24², АК=24 см
Тогда основание АС=2АК=48 см, высота ВК=25+7=32 (см)
По теореме Пифагора АВ²=АК²+ВК²=24²+32²=1600=40².
Боковая сторона треугольника 40 см, основание 48 см.
Периметр 40+40+48=128 см
ответ. Р=128 см.