Основания трапеции ABCD равны 10 см и 22 см. Диагональ BD, равная 48 см, пересекает АС в точке N. Найдите ND. (решение задачи прикрепить в виде фотографии к заданию)
В этой задаче нужно использовать теорему об отношении площадей подобных треугольников: Если нужно, докажите, что эти два треугольника - подобные (их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого) .
S/s1 = k^2, где k - коэффициент подобия.
По условию, площадь одного треугольника в два раза больше площади второго:
S = 2s1
S/s1 = 2, S/s1 = k^2
k = √2
Отношение оснований треугольнико равно коэффициенту подобия:
ОСН/осн = k
Найдём ОСН = осн*k = 18*√2
ответ: Основание треугольника равно 18*√2 или ≈ 25,46 см.
1) Рассмотрим рисунок этой поделенной на 3 части трапеции. Поведя из вершины у меньшего основания прямую, параллельную одной из боковых сторон, получили треугольник и параллелограмм.
Каждая из этих фигур разделена на 3 части.
В параллелограмме стороны равны, а части искомых отрезков равны меньшему основанию трапеции. Треугольник же делится на подобные треугольники по свойству равенства углов при параллелльных прямых ( которые мы провели при разделении трапеции) и секущей, а угол при вершине этих треугольников - общий. Так как боковая сторона разделена на 3 равные части, то отношение сторон этих треугольников 1:2:3 Основание большего треугольника (его боковая сторона=боковая сторона трапеции) равно разности оснований:
5 - 2=3 Т.к. боковая сторона трапеции разделена на 3 равные части, отношение сторон меньшего ( верхнего) треугольника и большего равно 1:3 Следовательно, его основание равно ⅓ ·3=1 см Отношение второго по величине треугольника и большего равно 2:3, отсюда его основание равно ⅖·3=2 см Так как длина каждого из проведенных параллелльных отрезков больше оснований треугольников на 2, то: длина искомых отрезков равна: 1 см+2=3 см 2см+2=4см -------------------------------- 2) Стороны треугольника MNP относятся к сторонам АВС как 1:3,т.к. каждая сторона Δ АВС разделена в отношении 1:2. И эта одна часть - сторона Δ MNP, стороне же АВС остаются её 3 части. Треугольники АВС и MNP подобны, так как их сходственные стороны пропорциональны и коэффициент подобия этих треугольников k=1/3 Площади подобных фигур относятся, как квадрат их коэффициента подобия, а в этой задаче в отношении (1/3)²=1/9. Площадь Δ MNP=1/9 площади тр-ка АВС и равна 1/9 от S или S/9 ---------------- 3)
Площади подобных фигур относятся, как квадрат их коэффициента подобия. Т.к. площади квадратов относятся как 25:9, то коэффициент подобия ( отношение сторон квадратов) равен k=√(25/9)=5/3 Пусть сторона меньшего квадрата равна х. Тогда сторона большего равна х+10
(х+10):х=5:3 По свойству пропорции 3(х+10)=5х 3х+30=5х 2х=30 х=15 Сторона меньшего квадрата равна 15 Проверка: Площадь большего квадрата (15+10)²=625 площадь меньшего 15²=225 625:225=25:9
Если нужно, докажите, что эти два треугольника - подобные (их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого) .
S/s1 = k^2, где k - коэффициент подобия.
По условию, площадь одного треугольника в два раза больше площади второго:
S = 2s1
S/s1 = 2, S/s1 = k^2
k = √2
Отношение оснований треугольнико равно коэффициенту подобия:
ОСН/осн = k
Найдём ОСН = осн*k = 18*√2
ответ: Основание треугольника равно 18*√2 или ≈ 25,46 см.
1)
Рассмотрим рисунок этой поделенной на 3 части трапеции.
Поведя из вершины у меньшего основания прямую, параллельную одной из боковых сторон, получили треугольник и параллелограмм.
Каждая из этих фигур разделена на 3 части.
В параллелограмме стороны равны, а части искомых отрезков равны меньшему основанию трапеции.
Треугольник же делится на подобные треугольники по свойству равенства углов при параллелльных прямых ( которые мы провели при разделении трапеции) и секущей, а угол при вершине этих треугольников - общий.
Так как боковая сторона разделена на 3 равные части, то отношение сторон этих треугольников 1:2:3
Основание большего треугольника (его боковая сторона=боковая сторона трапеции) равно разности оснований:
5 - 2=3
Т.к. боковая сторона трапеции разделена на 3 равные части, отношение сторон меньшего ( верхнего) треугольника и большего равно 1:3
Следовательно, его основание равно
⅓ ·3=1 см
Отношение второго по величине треугольника и большего равно
2:3, отсюда его основание равно
⅖·3=2 см
Так как длина каждого из проведенных параллелльных отрезков больше оснований треугольников на 2, то:
длина искомых отрезков равна:
1 см+2=3 см
2см+2=4см
--------------------------------
2)
Стороны треугольника MNP относятся к сторонам АВС как 1:3,т.к. каждая сторона Δ АВС разделена в отношении 1:2. И эта одна часть - сторона Δ MNP, стороне же АВС остаются её 3 части.
Треугольники АВС и MNP подобны, так как их сходственные стороны пропорциональны и коэффициент подобия этих треугольников
k=1/3
Площади подобных фигур относятся, как квадрат их коэффициента подобия, а в этой задаче в отношении (1/3)²=1/9.
Площадь Δ MNP=1/9 площади тр-ка АВС и равна 1/9 от S или S/9
----------------
3)
Площади подобных фигур относятся, как квадрат их коэффициента подобия. Т.к. площади квадратов относятся как 25:9, то коэффициент подобия ( отношение сторон квадратов) равен
k=√(25/9)=5/3
Пусть сторона меньшего квадрата равна х.
Тогда сторона большего равна х+10
(х+10):х=5:3
По свойству пропорции
3(х+10)=5х
3х+30=5х
2х=30
х=15
Сторона меньшего квадрата равна 15
Проверка:
Площадь большего квадрата
(15+10)²=625
площадь меньшего
15²=225
625:225=25:9