Основою піраміди є прямокутний трикутник із кутом 60°. Бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом 45°. Висота піраміди дорівнює 10 см. Знайдіть катет, протилежний поданому куту.
Для решения данной задачи нам понадобится использовать несколько свойств окружностей и треугольников.
1. Свойства касательной и хорды окружности:
- Если касательная проведена к окружности из точки касания, то она перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку.
- Также известно, что если хорда параллельна радиусу, проведенному в точку касания, то она делит хорду на равные отрезки. Это свойство называется "Теорема о касательной и хорде".
2. Обозначим радиус окружности как R.
3. Так как хорда AB параллельна радиусу OK, она делит хорду MB на равные отрезки. Значит, MB = MA = 3.
4. Треугольник OMK прямоугольный, так как ОК и МК являются перпендикулярами из прямого угла ОМК. Также, по свойству касательной и радиуса, угол ОМК является прямым.
5. Так как АВ параллельна ОК, треугольники ОМК и АBC подобны. По свойству подобных треугольников, соответствующие стороны пропорциональны. Значит:
- ОМ / МК = АВ / BC
- 3 / MK = 9 / BC
Домножим обе части на МК и получим:
3 = (9 / BC) * MK
6. Из прямоугольного треугольника ОМК известно, что ОМ = R - MK (так как ОМ - это разность радиуса и отрезка МК).
Подставим это значение в уравнение:
3 = (9 / BC) * (R - MK)
9. Перенесем 3 на другую сторону уравнения:
(9 / BC) * R = 3 + (9 / BC) * 3
(9 / BC) * R = 3(1 + 3 / BC)
10. Упростим правую часть уравнения:
(9 / BC) * R = 3(BC + 3) / BC
(9 / BC) * R = (3BC + 9) / BC
11. Умножим обе части уравнения на BC:
9R = 3BC + 9
12. Перенесем 3BC на другую сторону:
9R - 3BC = 9
13. Раскроем скобки:
3(3R - BC) = 9
14. Разделим обе части уравнения на 3:
3R - BC = 3
15. Перенесем -BC на другую сторону:
3R = BC + 3
16. Из свойства касательной и радиуса следует, что BC = 2R (так как OB - это радиус, а MC - это хорда, параллельная ОК, и эти две стороны равны).
Подставим это значение:
3R = 2R + 3
17. Вычтем 2R из обеих частей уравнения:
3R - 2R = 3
1) Прямую, перпендикулярную любой прямой в плоскости, называют г) лучом.
Обоснование: Луч - это прямая, имеющая начало и бесконечный конец. Если прямая перпендикулярна другой прямой в плоскости, то она не пересекает эту прямую и продолжается в одном направлении, образуя луч. Таким образом, луч будет перпендикуляром к этой прямой.
2) Наклонной к плоскости называют прямую, пересекающую плоскость и а) не пересекающую перпендикуляр.
Обоснование: Наклонная к плоскости - это прямая, которая пересекает плоскость, но не пересекает перпендикуляр к этой плоскости. Перпендикуляр является прямой, пересекающей плоскость под прямым углом.
3) Параллельными называют плоскости, г) не имеющие ни одной общей точки.
Обоснование: Две плоскости параллельны, если они не имеют ни одной общей точки. Такие плоскости не пересекаются и не пересекают друг друга.
4) Прямая, проходящая через основания перпендикуляра и наклонной, называется в) проекцией наклонной на плоскость.
Обоснование: Проекцией наклонной на плоскость называется прямая, которая проходит через основания перпендикуляра и наклонной. Она отображает положение наклонной на плоскости.
5) Наклонная перпендикулярна прямой в плоскости, если б) проекция наклонной параллельна этой прямой.
Обоснование: Если проекция наклонной на плоскость является параллельной прямой в этой плоскости, то наклонная будет перпендикулярна этой прямой.
6) Если из точки вне плоскости провести к ней перпендикуляр и наклонные, то г) наклонная и ее проекция равны.
Обоснование: Перпендикуляр и наклонные проводятся из точки вне плоскости к этой плоскости. В данном случае, наклонная и ее проекция будут равны длиной.
7) Прямая параллельна плоскости, если они б) перпендикулярны одной и той же прямой.
Обоснование: Прямая и плоскость параллельны, если они перпендикулярны одной и той же прямой. Если прямая выходит из плоскости и перпендикулярна ей, то она будет параллельна этой плоскости.
8) Углом между наклонной и плоскостью называют в) угол между наклонной и ее проекцией.
Обоснование: Угол между наклонной и плоскостью является углом между наклонной и ее проекцией на эту плоскость.
9) Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость, г) три точки, не лежащие на одной прямой.
Обоснование: Три точки, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Точки, лежащие на одной прямой, могут определить только линию, но не плоскость.
10) Прямая пересекает плоскость, если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, в) имеют только одну общую точку.
Обоснование: Прямая пересекает плоскость, если у нее и плоскости есть только одна общая точка. Если прямая и плоскость имеют более одной общей точки, то они могут быть совпадающими или лежать в одной плоскости.
11) Если прямая пересекает плоскость квадрата в точке пересечения диагоналей и перпендикулярна двум смежным его сторонам, то она а) параллельна двум другим сторонам квадрата.
Обоснование: Диагонали квадрата пересекаются в его центре, и прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная двум смежным сторонам квадрата, будет параллельна двум другим его сторонам.
12) Если две параллельные плоскости пересечь третьей, то б) линии пересечения параллельны.
Обоснование: Если две параллельные плоскости пересекают третью плоск...
1. Свойства касательной и хорды окружности:
- Если касательная проведена к окружности из точки касания, то она перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку.
- Также известно, что если хорда параллельна радиусу, проведенному в точку касания, то она делит хорду на равные отрезки. Это свойство называется "Теорема о касательной и хорде".
2. Обозначим радиус окружности как R.
3. Так как хорда AB параллельна радиусу OK, она делит хорду MB на равные отрезки. Значит, MB = MA = 3.
4. Треугольник OMK прямоугольный, так как ОК и МК являются перпендикулярами из прямого угла ОМК. Также, по свойству касательной и радиуса, угол ОМК является прямым.
5. Так как АВ параллельна ОК, треугольники ОМК и АBC подобны. По свойству подобных треугольников, соответствующие стороны пропорциональны. Значит:
- ОМ / МК = АВ / BC
- 3 / MK = 9 / BC
Домножим обе части на МК и получим:
3 = (9 / BC) * MK
6. Из прямоугольного треугольника ОМК известно, что ОМ = R - MK (так как ОМ - это разность радиуса и отрезка МК).
Подставим это значение в уравнение:
3 = (9 / BC) * (R - MK)
7. Учитывая равенство MB = MA = 3 и MK = MB, получим:
3 = (9 / BC) * (R - 3)
8. Раскроем скобки:
3 = (9 / BC) * R - (9 / BC) * 3
9. Перенесем 3 на другую сторону уравнения:
(9 / BC) * R = 3 + (9 / BC) * 3
(9 / BC) * R = 3(1 + 3 / BC)
10. Упростим правую часть уравнения:
(9 / BC) * R = 3(BC + 3) / BC
(9 / BC) * R = (3BC + 9) / BC
11. Умножим обе части уравнения на BC:
9R = 3BC + 9
12. Перенесем 3BC на другую сторону:
9R - 3BC = 9
13. Раскроем скобки:
3(3R - BC) = 9
14. Разделим обе части уравнения на 3:
3R - BC = 3
15. Перенесем -BC на другую сторону:
3R = BC + 3
16. Из свойства касательной и радиуса следует, что BC = 2R (так как OB - это радиус, а MC - это хорда, параллельная ОК, и эти две стороны равны).
Подставим это значение:
3R = 2R + 3
17. Вычтем 2R из обеих частей уравнения:
3R - 2R = 3
18. Получим:
R = 3
Ответ: радиус окружности равен 3.
Обоснование: Луч - это прямая, имеющая начало и бесконечный конец. Если прямая перпендикулярна другой прямой в плоскости, то она не пересекает эту прямую и продолжается в одном направлении, образуя луч. Таким образом, луч будет перпендикуляром к этой прямой.
2) Наклонной к плоскости называют прямую, пересекающую плоскость и а) не пересекающую перпендикуляр.
Обоснование: Наклонная к плоскости - это прямая, которая пересекает плоскость, но не пересекает перпендикуляр к этой плоскости. Перпендикуляр является прямой, пересекающей плоскость под прямым углом.
3) Параллельными называют плоскости, г) не имеющие ни одной общей точки.
Обоснование: Две плоскости параллельны, если они не имеют ни одной общей точки. Такие плоскости не пересекаются и не пересекают друг друга.
4) Прямая, проходящая через основания перпендикуляра и наклонной, называется в) проекцией наклонной на плоскость.
Обоснование: Проекцией наклонной на плоскость называется прямая, которая проходит через основания перпендикуляра и наклонной. Она отображает положение наклонной на плоскости.
5) Наклонная перпендикулярна прямой в плоскости, если б) проекция наклонной параллельна этой прямой.
Обоснование: Если проекция наклонной на плоскость является параллельной прямой в этой плоскости, то наклонная будет перпендикулярна этой прямой.
6) Если из точки вне плоскости провести к ней перпендикуляр и наклонные, то г) наклонная и ее проекция равны.
Обоснование: Перпендикуляр и наклонные проводятся из точки вне плоскости к этой плоскости. В данном случае, наклонная и ее проекция будут равны длиной.
7) Прямая параллельна плоскости, если они б) перпендикулярны одной и той же прямой.
Обоснование: Прямая и плоскость параллельны, если они перпендикулярны одной и той же прямой. Если прямая выходит из плоскости и перпендикулярна ей, то она будет параллельна этой плоскости.
8) Углом между наклонной и плоскостью называют в) угол между наклонной и ее проекцией.
Обоснование: Угол между наклонной и плоскостью является углом между наклонной и ее проекцией на эту плоскость.
9) Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость, г) три точки, не лежащие на одной прямой.
Обоснование: Три точки, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Точки, лежащие на одной прямой, могут определить только линию, но не плоскость.
10) Прямая пересекает плоскость, если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, в) имеют только одну общую точку.
Обоснование: Прямая пересекает плоскость, если у нее и плоскости есть только одна общая точка. Если прямая и плоскость имеют более одной общей точки, то они могут быть совпадающими или лежать в одной плоскости.
11) Если прямая пересекает плоскость квадрата в точке пересечения диагоналей и перпендикулярна двум смежным его сторонам, то она а) параллельна двум другим сторонам квадрата.
Обоснование: Диагонали квадрата пересекаются в его центре, и прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная двум смежным сторонам квадрата, будет параллельна двум другим его сторонам.
12) Если две параллельные плоскости пересечь третьей, то б) линии пересечения параллельны.
Обоснование: Если две параллельные плоскости пересекают третью плоск...