Построим сумму векторов а и b и их разность. ↑АС = ↑р = ↑а + ↑b ↑DB = ↑q = ↑a - ↑b Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А. ∠ЕАС - искомый. Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов: |↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49 |↑q| = 7 Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°. Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов: |↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129 |↑p| = √129
Из ΔЕАС по теореме косинусов: cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC) cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903 cos α = - 13√129/301
Оскільки r (радіус вписаного кола) прямокутного трикутника обчислюється за формулою r=(a+b-c) /2, де a і b - катети, с - гіпотенуза, томи можемо отримати суму катетів (a+b) :
(a+b-c) /2=4 |2 (|2 означає, що ми множимо обидві частини рівняння на 2)
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129
Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301
ответ: Катети дорівнюють 24 і 10 см.
Объяснение:
Оскільки r (радіус вписаного кола) прямокутного трикутника обчислюється за формулою r=(a+b-c) /2, де a і b - катети, с - гіпотенуза, томи можемо отримати суму катетів (a+b) :
(a+b-c) /2=4 |2 (|2 означає, що ми множимо обидві частини рівняння на 2)
a+b-c=8
a+b=8+c=8+26=34 (з умови)
Також за теоремою Піфагора:
a^2+b^2=c^2 (^ це степінь)
Отримуємо систему рівнянь:
{a^2+b^2=26^2=676
{a+b=34
Розв'язуємо систему методом підстановки:
{a^2+b^2=26^2=676
{a=34-b
(34-b)^2+b^2=676
34^2-2*34*b+b^2+b^2=676
2×b^2-68b+1156-676=0
2×b^2-68b+480=0 |0,5
b^2-34b+240=0
Розв'язуємо квадратне рівняння:
D=34^2-4×1×240=1156-960=196=14^2
b1= (-(-34)+14)/2=(34+14)/2=24 см
b2= (-(-34)-14)/2=(34-14)/2=10 см
Відповідно, a1=34-24=10 см
a2=34-10=24 см
Отримуємо відповідь: катети дорівнюють 24 і 10см.