Обозначим вершины треугольника А В С а Высоту ВН. ВН делит ∆АВС на 2 прямоугольных треугольника АВН и СВН, в которых АН, СН и общая высота ВН - катеты, а АВ и ВС - гипотенуза. Пусть АВ=х, тогда ВС=х+3. Так как ВН -общая, то в она будет одной величины для двух треугольников. Составим уравнение используя теорему Пифагора:
АВ²-АН²=ВС²-СН²
х²-5²=(х+3)²-10²
х²+25=х²+6х+9-100 переносим х в левую сторону уравнения, а цифры в правую с противоположными знаками:
х²-х²-6х= -25+9-100
-6х= -66
х= –66/–6
х=11
Итак: АВ=11см, тогда ВС=11+3=14см
АС=5+10=15см
Теперь найдём периметр треугольника зная его стороны:
Р=11+14+15=40см
ответ: б) Р=40см
ЗАДАНИЕ 3
Обозначим вершины ромба А В С Д а точку пересечения диагоналей О. Диагонали ромба пересекаясь делятся на равные отрезки и делят углы пополам. Также они делят ромб на 4 одинаковых прямоугольных треугольника. Поэтому
угол АВО=углу СВО=30°; АО=СО;
ВО=ДО . По условиям ВД=4√3, тогда
ВО=ДО=4√3÷2=2√3см. Рассмотрим ∆АВО. В нём АВ- гипотенуза, а АО и ВО- катеты, угол АВО=30°, катет ВО=2√3см. Пусть АО=х. Катет лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы, поэтому гипотенуза АВ будет в 2 раза больше катета АО, и будет 2х. Составим уравнение используя теорему Пифагора: АВ²-АО²=ВО²
(2х)²-х²=(2√3)²
4х²-х²=4×3
3х²=12
х²=12÷3
х²=4
х=√4
х=2
Итак: АО=2см, тогда АВ=2×2=4см.
Нам известна сторона ромба, теперь найдём его периметр:
Р=4×4=16см
ответ: а) 16см
ЗАДАНИЕ 4
Обозначим вершины треугольника А В С а биссектрисы других углов СК и АС а точку их пересечения О. Пусть угол С=20°, тогда сумма углов А и С=180-20=160°. Рассмотрим полученный ∆ АОС. Мы нашли сумму углов А и С, и так как их делят биссектрисы пополам, запишем их так: (А+С)/2.
Угол АОС=180-160/2=180-80=100°. Найден тупой угол между биссектриса и, теперь найдём острые углы между ними АОК и СОМ, знаю что сумма углов образуемых при пересечении составляет 360°:
Угол АОК=углу СОМ=(360-2×100)/2=
=(360-200)/2=160/2=80°
ОТВЕТ: в) острый угол между биссектрисами=80°
ЗАДАНИЕ 5
Чтобы найти угол А, воспользуемся теоремой косинусов:
Обратим внимание, почему изначально △АВС не равен △DEF:
Если две стороны и угол МЕЖДУ ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу МЕЖДУ ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
К ∠ВАС прилежит только 1 сторона, а именно АВ. А сторона ВС к этому углу вообще никак не относится.
Тоже самое и с ∠EDF: к нему прилежит только сторона DE, а EF к нему вообще никак не относится.
Поэтому эти треугольники с изначальными условиями не равны.
Начнём рассматривать приусловия по порядку:
1. ∠ВАС - острый.
=> ∠EDF тоже острый, так как ∠ВАС = ∠EDF, по условию.
Но это нам ничего не даёт.
Всё по прежнему остаётся на своих местах, то есть мы не сможем доказать равенство этих треугольников.
2. ∠ВАС - прямой.
=> ∠EDF тоже прямой, так как ∠ВАС = ∠EDF, по условию.
И это многое нам даёт.
Во-первых, △АВС и △DEF - прямоугольные.
Рассмотрим эти треугольники:
АВ = DF, по условию.
ВС = EF, по условию.
=> △АВС = △DEF, по катету и гипотенузе
У прямоугольных треугольники с другие признаки равенства.
3. ВАС - тупой.
Мы знаем, что тупоугольный треугольник = 1 тупой угол + 2 острых угла.
Но нас ничего не даёт, для того, чтобы доказать равенство треугольников.
4. ∠ВСА - острый.
Но это нам ничего не даёт, так как ∠ВСА не равен ∠EFD, по условию.
Просто ∠ВСА - острый, а ∠EFD может быть тупым или может даже прямым.
5. ∠ВСА - прямой.
Во-первых, мы не сможем доказать равенство, так как нам не сказано, что ∠ВСА = ∠EFD.
Во-вторых, нам не сказано, что ∠EFD - прямой.
=> ∠EFD совершенно любым.
6. ∠ВСА - тупой.
Но это нам ничего не даёт, так как ∠ВСА не равен ∠EFD, по условию.
Просто ∠ВСА - тупой, а ∠EFD может быть острым или может даже прямым.
Объяснение: ЗАДАНИЕ 2
Обозначим вершины треугольника А В С а Высоту ВН. ВН делит ∆АВС на 2 прямоугольных треугольника АВН и СВН, в которых АН, СН и общая высота ВН - катеты, а АВ и ВС - гипотенуза. Пусть АВ=х, тогда ВС=х+3. Так как ВН -общая, то в она будет одной величины для двух треугольников. Составим уравнение используя теорему Пифагора:
АВ²-АН²=ВС²-СН²
х²-5²=(х+3)²-10²
х²+25=х²+6х+9-100 переносим х в левую сторону уравнения, а цифры в правую с противоположными знаками:
х²-х²-6х= -25+9-100
-6х= -66
х= –66/–6
х=11
Итак: АВ=11см, тогда ВС=11+3=14см
АС=5+10=15см
Теперь найдём периметр треугольника зная его стороны:
Р=11+14+15=40см
ответ: б) Р=40см
ЗАДАНИЕ 3
Обозначим вершины ромба А В С Д а точку пересечения диагоналей О. Диагонали ромба пересекаясь делятся на равные отрезки и делят углы пополам. Также они делят ромб на 4 одинаковых прямоугольных треугольника. Поэтому
угол АВО=углу СВО=30°; АО=СО;
ВО=ДО . По условиям ВД=4√3, тогда
ВО=ДО=4√3÷2=2√3см. Рассмотрим ∆АВО. В нём АВ- гипотенуза, а АО и ВО- катеты, угол АВО=30°, катет ВО=2√3см. Пусть АО=х. Катет лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы, поэтому гипотенуза АВ будет в 2 раза больше катета АО, и будет 2х. Составим уравнение используя теорему Пифагора: АВ²-АО²=ВО²
(2х)²-х²=(2√3)²
4х²-х²=4×3
3х²=12
х²=12÷3
х²=4
х=√4
х=2
Итак: АО=2см, тогда АВ=2×2=4см.
Нам известна сторона ромба, теперь найдём его периметр:
Р=4×4=16см
ответ: а) 16см
ЗАДАНИЕ 4
Обозначим вершины треугольника А В С а биссектрисы других углов СК и АС а точку их пересечения О. Пусть угол С=20°, тогда сумма углов А и С=180-20=160°. Рассмотрим полученный ∆ АОС. Мы нашли сумму углов А и С, и так как их делят биссектрисы пополам, запишем их так: (А+С)/2.
Угол АОС=180-160/2=180-80=100°. Найден тупой угол между биссектриса и, теперь найдём острые углы между ними АОК и СОМ, знаю что сумма углов образуемых при пересечении составляет 360°:
Угол АОК=углу СОМ=(360-2×100)/2=
=(360-200)/2=160/2=80°
ОТВЕТ: в) острый угол между биссектрисами=80°
ЗАДАНИЕ 5
Чтобы найти угол А, воспользуемся теоремой косинусов:
cosA=(a²-b²-c²)/-2ab=(7²-8²-5²)/(-2×8×5)=
=(49-64-25)/-80= -40/-80=1/2
cos1/2=60°
ответ: г) угол А=60°
△АВС и △DEF.
AB = DE
BC = EF
∠BAC = ∠EDF
Найти:дополнительное условие, при котором △АВС = △DEF
Решение:Обратим внимание, почему изначально △АВС не равен △DEF:
Если две стороны и угол МЕЖДУ ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу МЕЖДУ ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
К ∠ВАС прилежит только 1 сторона, а именно АВ. А сторона ВС к этому углу вообще никак не относится.
Тоже самое и с ∠EDF: к нему прилежит только сторона DE, а EF к нему вообще никак не относится.
Поэтому эти треугольники с изначальными условиями не равны.
Начнём рассматривать приусловия по порядку:
1. ∠ВАС - острый.=> ∠EDF тоже острый, так как ∠ВАС = ∠EDF, по условию.
Но это нам ничего не даёт.
Всё по прежнему остаётся на своих местах, то есть мы не сможем доказать равенство этих треугольников.
2. ∠ВАС - прямой.=> ∠EDF тоже прямой, так как ∠ВАС = ∠EDF, по условию.
И это многое нам даёт.
Во-первых, △АВС и △DEF - прямоугольные.
Рассмотрим эти треугольники:
АВ = DF, по условию.
ВС = EF, по условию.
=> △АВС = △DEF, по катету и гипотенузе
У прямоугольных треугольники с другие признаки равенства.
3. ВАС - тупой.Мы знаем, что тупоугольный треугольник = 1 тупой угол + 2 острых угла.
Но нас ничего не даёт, для того, чтобы доказать равенство треугольников.
4. ∠ВСА - острый.Но это нам ничего не даёт, так как ∠ВСА не равен ∠EFD, по условию.
Просто ∠ВСА - острый, а ∠EFD может быть тупым или может даже прямым.
5. ∠ВСА - прямой.Во-первых, мы не сможем доказать равенство, так как нам не сказано, что ∠ВСА = ∠EFD.
Во-вторых, нам не сказано, что ∠EFD - прямой.
=> ∠EFD совершенно любым.
6. ∠ВСА - тупой.Но это нам ничего не даёт, так как ∠ВСА не равен ∠EFD, по условию.
Просто ∠ВСА - тупой, а ∠EFD может быть острым или может даже прямым.
7. АВ > ВС.Это нам, опять же, ничего не даёт.
8. АВ < ВСАВ < ВС, но это нам ничего не даёт.
Всё по прежнему останется.
ответ: 2).