Отрезки АВ и КС пересекаются в точке О. Точка О –– середина отрезков АВ и КС.

1) Докажите, равенство треугольников АКВ и ВСА.

2) Найдите угол АКВ, если КВС равен 64°.

Рассмотрим углы AED и CED. Они равны по условию. Следовательно, смежные с ними углы AEB и CEB тоже равны между собой (это следует из теоремы о сумме смежных углов).

Рассмотрим Треугольники АВЕ и СВЕ.

Угол AEB = угол CEB (по выше сказанному), угол АВЕ = угол СВЕ (по условию), а сторона ВЕ - общая. Следовательно, треугольники АВЕ = СВЕ по равной стороне и двум равным прилежащих к ней углам (второй признак равенства треугольников).

В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Против угла АЕВ лежит сторона АВ, а против угла СЕВ лежит сторона ВС. Следовательно, АВ = ВС.

Так как в одном треугольнике АВС АВ = ВС, то треугольник АВС - равнобедренный.

ответ: что требовалось доказать.

Чертёж смотрите во вложении.

Дано:

Четырёхугольник ABCD - ромб.

∠АВС - острый.

ВЕ и ВР - высоты, проведённые к сторонам ромба AD и CD соответственно.

∠ЕВР = 150°.

ВЕ = 6 см.

Р(ABCD) = ?

Рассмотрим четырёхугольник ВЕDP.

Сумма углов четырёхугольника равна 360°.

То есть -

∠Е+∠D+∠P+∠В = 360°

∠D = 360°-∠Е-∠Р-∠В

∠D = 360°-90°-90°-150°

∠D = 30°.

Рассмотрим соответственные ∠EAB и ∠D при АВ║CD (параллельны по определению ромба) и секущей ED.

∠EAB = ∠D = 30° (по свойству соответственных углов при параллельных прямых и секущей).

Рассмотрим прямоугольный ΔЕВА.

Против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы.

То есть -

У ромба равны все стороны.

Следовательно -

Р(ABCD) = 4*АВ = 4*12 см = 48 см.