Определите можно ли описать окружность вокруг четырехугольника ABCD, если углы ABCD равны соответственно : а) 90°, 90°, 20°, 160° нет. Вокруг четырёхугольника описать окружность можно тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180° 90+20 = 110 - всё, невозможно. б) 5°, 125°, 175°, 60° 5+175 = 180 - хорошо 125+60 = 185 - да это вообще не четырёхугольник!
ЗАДАНИЕ 2
Найдите неизвестные углы: а) вписанного четырехугольника, если 2 из них равны 46° и 125° 46+x = 180 x = 134° 125+y = 180 y = 55° б) вписанной трапеции если один из них равен 80° x+80 = 180 x = 100° углы при одной боковой стороне в сумме дают 180 Итого - все 4 угла таковы - 80, 100, 100, 80 в) вписанного четырехугольника диагонали которого точкой пересечения делятся пополам все 4 угла по 90° Если диагонали точкой пересечения делятся пополам, то перед нами параллелограмм. Т.к. он вписан в окружность, то противоположные углы в сумме дают 180 градусов. А в параллелограмме противоположные углы равны.
ЗАДАНИЕ 3
Найдите периметр: а) описанного четырехугольника, 3 последовательные стороны которого равны 7см, 9см, 8см На рисунке трапеция с длиной сторон 6,7,9,8 Каждую сторону представим как сумму длин двух отрезков - от одной вершины до точки касания и от другой вершины до точки касания окружности. Видно, что прямоугольные треугольники на соседних рёбрах фигуры попарно равны по трём сторонам - одна сторона общая, вторая сторона - радиус вписанной окружности, и третья сторона в прямоугольном треугольнике может быть вычислена по теореме Пифагора от двух известных сторон - тоже совпадает. 7 = x+y 9= y+z 8 = z+t d = x+t = 7+8-9 = 6 см б) описанной трапеции, боковые стороны которой равны 3см и 11см P = 2*(3+11) = 28 см В описанной трапеции сумма длин оснований равна сумме длин сторон Для доказательства этого факта подходит рисунок к пункту. Длина боковых сторон складывается из четырёх слагаемых - x+y+z+t. Но длина оснований складывается из них же - x+y+z+t
Пусть данный треугольник - ABC, у которого угол B прямоугольный, а квадрат BDEF, точка D лежит на стороне AB, точка E лежит на стороне BC, а точка F на гипотенузе. Таков рисунок, в котором два треугольника ADE и CEF подобны треугольнику ABC( по двум углам), что значит если сторона квадрата x, то 5/12(отношение катетов)=CF/EF=5-x/x из этого уравнения находим x, и умножаем на 4, получаем ответ - 14 целых 2/17см. Есть второй вариант БЕЗ подобия, по теореме Пифагора вычисляем длину гипотенузы - 13см. Гипотенуза так же равна сумме отрезков AE и CE, которые можно тоже вычислить по теореме Пифагора.То есть получаем:.
Определите можно ли описать окружность вокруг четырехугольника ABCD, если углы ABCD равны соответственно :
а) 90°, 90°, 20°, 160°
нет. Вокруг четырёхугольника описать окружность можно тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°
90+20 = 110 - всё, невозможно.
б) 5°, 125°, 175°, 60°
5+175 = 180 - хорошо
125+60 = 185 - да это вообще не четырёхугольник!
ЗАДАНИЕ 2
Найдите неизвестные углы:
а) вписанного четырехугольника, если 2 из них равны 46° и 125°
46+x = 180
x = 134°
125+y = 180
y = 55°
б) вписанной трапеции если один из них равен 80°
x+80 = 180
x = 100°
углы при одной боковой стороне в сумме дают 180
Итого - все 4 угла таковы - 80, 100, 100, 80
в) вписанного четырехугольника диагонали которого точкой пересечения делятся пополам
все 4 угла по 90°
Если диагонали точкой пересечения делятся пополам, то перед нами параллелограмм. Т.к. он вписан в окружность, то противоположные углы в сумме дают 180 градусов. А в параллелограмме противоположные углы равны.
ЗАДАНИЕ 3
Найдите периметр:
а) описанного четырехугольника, 3 последовательные стороны которого равны 7см, 9см, 8см
На рисунке трапеция с длиной сторон 6,7,9,8
Каждую сторону представим как сумму длин двух отрезков - от одной вершины до точки касания и от другой вершины до точки касания окружности.
Видно, что прямоугольные треугольники на соседних рёбрах фигуры попарно равны по трём сторонам - одна сторона общая, вторая сторона - радиус вписанной окружности, и третья сторона в прямоугольном треугольнике может быть вычислена по теореме Пифагора от двух известных сторон - тоже совпадает.
7 = x+y
9= y+z
8 = z+t
d = x+t = 7+8-9 = 6 см
б) описанной трапеции, боковые стороны которой равны 3см и 11см
P = 2*(3+11) = 28 см
В описанной трапеции сумма длин оснований равна сумме длин сторон
Для доказательства этого факта подходит рисунок к пункту. Длина боковых сторон складывается из четырёх слагаемых - x+y+z+t.
Но длина оснований складывается из них же - x+y+z+t
Есть второй вариант БЕЗ подобия, по теореме Пифагора вычисляем длину гипотенузы - 13см. Гипотенуза так же равна сумме отрезков AE и CE, которые можно тоже вычислить по теореме Пифагора.То есть получаем:.