Параллельные плоскости Альфа и Бета пересекают стороны угла BAC; сторону AB соответственно в точках B1 и В2, считая от вершины угла А; сторону АС данного угла - соответственно в точках С1 и С2. Выполните рисунок по условию задачи. Найдите длины отрезков АВ2 и АС2, если АВ1=4см;В1,В2=3АВ; АС1= 5см

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними второго треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ΔАВС и ΔА₁В₁С₁.
           АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, ∠А = ∠А₁.
Доказать: ΔАВС = ΔА₁В₁С₁.
Доказательство:

Наложим треугольники друг на друга так, чтобы угол А совпал с углом А₁.
Тогда совпадут и лучи АВ с А₁В₁  и АС с А₁С₁.
Так как АВ = А₁В₁, точки В и В₁ совпадут.
Так как АС = А₁С₁, точки С  и С₁ тоже совпадут.
Через две точки можно провести единственную прямую, поэтому совпадут и отрезки ВС и В₁С₁.
Так как треугольники совпали при наложении - они равны.

При доказательстве признака использована аксиома: через любые две точки можно провести единственную прямую

Теорема (о биссектрисе внутреннего угла треугольника).Если AA1 ¾  биссектриса угла A треугольника ABC, тоBA1 : A1 C = BA : AC.Доказательство. Пусть угол при вершине A в треугольнике ABC равен 2a. Рассмотрим треугольники BAA1 и CAA1 (см. рис.). Их площади относятся как отрезки BA1 и A1C, поскольку высота к этим сторонам в рассматриваемых треугольниках общая.С другой стороны, воспользуемся для площадей этих треугольников формулой . ИмеемКак видим, при доказательстве обеих теорем мы использовали один очень простой факт:если два треугольника имеют общую вершину, а противолежащие этой вершине стороны расположены на одной прямой, то площади треугольников относятся как стороны, лежащие на одной прямой.Этот факт является частным случаем следующего более общего утверждения, которое также необходимо запомнить.Задача 2.Докажите, что длину биссектрисы AA1 треугольника ABC можно вычислять по формуле ,где b = AC, c = AB, A  ¾  угол BAC (см. рис.).Решение. Будем исходить из очевидного равенстваилиДалее воспользуемся формулой sin2a = 2sina  · cosa . (Эта формула вытекает из формул сложения, но мы докажем ее с формулы площадей.) Вывод формулы синуса двойного углаРассмотрим равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными 1, и углом 2a между ними (см. рис.).Высота, она же биссектриса, разбивает треугольник на два равных прямоугольных треугольника с катетами sin a и cos a. Площадь каждого из них равна  sin a · cos a, площадь всего треугольника равна  sin 2a. Значит,Заменив в левой части равенства  и сократив обе его части на , получимоткуда