Периметр квадрата ABCD равен 32, O - точка пересечения диагоналей. Найти:
1Диагональ
2Радиус описанной окружности
3Радиус вписанной окружности
4Расстояние от B до середины DC
5Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностями
6.sin угла AOD
7.tg углаOBC
8.cosAOB
9. L принадлежит BC , CL : LB =1: 3
AL пересекает DC =N
Найти: CN , LN , cos углаBLN и площадь LCN
10. Z принадлежит AD, R принадлежит AD; DZ : ZR: RA =1: 2 :1
CR пересекает AB =Q ; CZ пересекает AB = H
Найти: расстояние от Q до ZH и площадь GRZH
11. На стороне BC построен равносторонний треугольник BKC (K не принадлежит ABCD)
CK пересекает AD = P
Найти: периметр четырёхугольника ABKP и площадь треугольников ACP и DKC
12.G принадлежит AB , J принадлежит BC , U принадлежит AD
AG : AB =1: 2; BJ : JC =1: 7 ; DU : AD = 7 :8
Для четырёхугольника JDUG найти: диагонали, синус острого угла между ними, cosG и площадь.
13 На сторонах BC и CD построены равносторонние треугольники BKC и EDC соответственно ( K,E не принадлежат ABCD )
Найти: периметр OEK и площадь AEK.
Проведем BD параллельно АС. Тогда <PAC=<BDA, как накрест лежащие при параллельных прямых BD и AC и секущей АD.
∆АКМ ~ ∆BKD по двум углам (1).
∆АРС ~ ∆DРВ по двум углам (2).
Из (1) BD/AM=4 и BD=4AM = 2AC.
Из (2) BP/PC=2.
ВМ - медиана и по ее свойствам Sabm=Scbm.
Треугольники АВК и АКМ - треугольники с общей высотой к стороне ВМ. Значит Sabk/Sakm=4/1. => Sabk=Sabc*(1/2)*(4/5)=(2/5)*Sabc.
Sakm=Sabc*1/(2*5)=(1/10)*Sabc.
Треугольники ABP и APC - треугольники с общей высотой к стороне ВC.
Значит Sabp/Sapc=2/1. => Sapc=Sabc*1/3=(1/3)*Sabc.
Тогда Skpcm=Sapc-Sakm = (1/3)*Sabc-(1/10)*Sabc = (7/30)*Sabc.
Sabk/Skpcm=(2/5)/(7/30)=12/7.