Периметр треугольника ABC равен 30. На стороне BC треугольника отмечены точки A1 и A2 такие, что BA1=CA2=1/4BC . Аналогично определяются точки B1, B2, C1 и C2. Чему равен периметр шестиугольника с вершинами в отмеченных точках?
См. рисунок. По условию <ВДС равен одной условной единице, <АДВ равен восьми условным единицам. Тогда <АДС = <ВДС + <АДВ = 1 + 8 = 9 условных единиц. С другой стороны этот угол прямой, поскольку фигура-прямоугольник, следовательно, в градусах <АДС = 90 градусов. Отсюда можно найти величину одной условной единицы в градусах 90/9 = 10 градусов. Таким образом, <ВДС = 10 градусов. <АСД = <ВДС = 10 град. Теперь можно найти < ДОС. Сумма углов в любом треугольнике равна 180 градусов. Следовательно, < ДОС = 180 -10 – 10 = 160 градусов. < ДОС = < АОВ .т.к. эти углы вертикальные. Поскольку сумма всех четырех углов, образованных пересечением диагоналей равна 360 градусов, можно найти сумму остальных двух углов <АОД и <ВОС. <АОД + <ВОС = 360 -160 – 160 = 40 градусов. Поскольку <АОД и <ВОС являются вертикальными углами, то они равны между собой, и каждый из них = 40/2 = 20 градусов.
А2. ∠С = 90°, ∠B = 60°, ⇒ ∠A = 30°. CB = AB/2 = 40/2 = 20 см как катет, лежащий напротив угла в 30°. По теореме Пифагора АС = √(АВ² - СВ²) = √(1600 - 400) = √1200 = 20√3 см Sabc = 1/2 · AC · BC = 1/2 · 20√3 · 20 = 200√3 см²
А3. Sabcd = AC · BD /2 = 14 · 6 / 2 = 42 см²
А4. КН = 16 см - высота трапеции. ΔABD = ΔDCA по двум сторонам и углу между ними (AB = CD так как трапеция равнобедренная, AD - общая, ∠BAD = ∠CDA как углы при основании равнобедренной трапеции), ⇒ ∠CAD = ∠BDA, ⇒ AO = OD. ΔAOD равнобедренный прямоугольный, значит ОН - высота и медиана. ОН = AD/2 так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. Аналогично, ОК = ВС/2. КН = КО + ОН = AD/2 + BC/2 = (AD + BC)/2 = 16 см ⇒ Sabcd = (AD + BC)/2 · KH = 16 ·16 = 256 см²
Вообще, в равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна ее средней линии.
В1. Пусть К и М - середины оснований. Обозначим АМ = MD = a, BK = KC = b. ABKM и MKCD - трапеции, имеющие общую высоту КН = h. Sabkm = (a + b)/2 ·h Smkcd = (a + b)/2 ·h, ⇒ Sabkm = Smkcd
ΔABC: ∠АВС = 90°, по теореме Пифагора
ВС = √(АС² - АВ²) = √(625 - 576) = √49 = 7 см
Sabcd = AB·BC = 24 · 7 = 168 cм²
А2.
∠С = 90°, ∠B = 60°, ⇒ ∠A = 30°.
CB = AB/2 = 40/2 = 20 см как катет, лежащий напротив угла в 30°.
По теореме Пифагора
АС = √(АВ² - СВ²) = √(1600 - 400) = √1200 = 20√3 см
Sabc = 1/2 · AC · BC = 1/2 · 20√3 · 20 = 200√3 см²
А3.
Sabcd = AC · BD /2 = 14 · 6 / 2 = 42 см²
А4.
КН = 16 см - высота трапеции.
ΔABD = ΔDCA по двум сторонам и углу между ними (AB = CD так как трапеция равнобедренная, AD - общая, ∠BAD = ∠CDA как углы при основании равнобедренной трапеции), ⇒
∠CAD = ∠BDA, ⇒ AO = OD.
ΔAOD равнобедренный прямоугольный, значит ОН - высота и медиана.
ОН = AD/2 так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
Аналогично, ОК = ВС/2.
КН = КО + ОН = AD/2 + BC/2 = (AD + BC)/2 = 16 см ⇒
Sabcd = (AD + BC)/2 · KH = 16 ·16 = 256 см²
Вообще, в равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна ее средней линии.
В1. Пусть К и М - середины оснований.
Обозначим АМ = MD = a, BK = KC = b.
ABKM и MKCD - трапеции, имеющие общую высоту КН = h.
Sabkm = (a + b)/2 ·h
Smkcd = (a + b)/2 ·h, ⇒
Sabkm = Smkcd