Периметр треугольника равен 64 см найдите стороны треугольника если они относятся как 1;3;5​

Острый угол между диагоналями прямоугольника равен φ. Найти угол между диагональю прямоугольника и его большей

Дано:

ABCD — прямоугольник,

AC ∩ BD=O,

∠AOD=φ.

Найти: ∠ACD.

Решение:



1) ∠DOC=180º-∠AOD=180º-φ (как смежные).

ugol mezhdu diagonalyami pryamougolnika raven

2) Треугольник COD — равнобедренный с основанием CD

(OC=OD по свойству диагоналей прямоугольника).

Тогда

\[\angle OCD = \frac180}^o} - \angle AOD}}{2} = \frac180}^o} - ({{180}^o} - \varphi )}}{2} = \]

\[ = \frac180}^o} - {{180}^o} + \varphi }}{2} = \frac{\varphi }{2}.\]

(как угол при основании равнобедренного треугольника).

\[\angle ACD = \angle OCD = \frac{\varphi }{2}.\]

ответ: φ/2.



ugol mezhdu diagonalyu i storonoy pryamougolnika

Около любого прямоугольника можно описать окружность. Центр описанной около прямоугольника окружности — точка пересечения его диагоналей.

∠ACD — вписанный угол, ∠AOD — соответствующий ему центральный угол. Следовательно,

∠ACD=½ ∠AOD=φ/2.

Задача 2. (обратная к задаче 1)

Угол между диагональю прямоугольника и его большей стороной равен α. Найти меньший угол между диагоналями прямоугольника.

ugol mezhdu diagonalyu i storonoy pryamougolnika

1) Треугольник COD — равнобедренный с основанием CD

(так как OC=OD по свойству диагоналей прямоугольника).

Угол при вершине равнобедренного треугольника

∠COD=180º-2∠OCD=180º-2α.

2) ∠AOD=180º-∠COD (как смежные),

∠AOD=180º-(180º-2α)=180º-180º+2α=2α.

ответ: 2α.

Вывод: острый угол между диагоналями прямоугольника в два раза больше угла между диагональю прямоугольника и его большей стороной.

1.Дано: АВСД - трапеция, ВС//АД,ВС=20см, АД=60см, АВ=13см, СД=37см.

   Найти: S

 

Из точек В и С опустим перпендикуляры на сторону АД. Совместим эти линии - получим треугольник со сторонами 13,37 и 40 (60-20=40).

По формуле Герона площадь этого треугольника равна:

√[45(45-13)(45-37)(45-40)]=√(45*32*8*5)=240 кв.см

а его высота:

240*2:40=120 см (использ.формулу S=1/2 a*h).

 

Sтрапеции=1/2(ВС+АД)*h=(20+60)*120:2=480 кв.см

 

2.Дано: АВСД - трапеция, ВС//АД, АД=44см, АВ=СД=17см, АС=39см.

   Найти: S

 

По формуле Герона Площадь треугольника АСД равна:

√[50(50-39)(50-17)(50-44)]=330 кв.см

а его высота СМ:

330*2:44=15 см

 

По теореме Пифагора:

МД=√(СД^2-СМ^2)=289-225=8 см

 

ВС=АД-2МД=44-16=28 см

 

Sтрапеции=1/2(ВС+АД)*h=(28+44)*15:2=540 кв см

 

3.S=1/2absinC=1*1*sin70=0,9397=0.46985 кв.м

 

4.S=absinC=2*3*sin70=5.6382 кв.м