Петя отметил на плоскости четыре точки и нашел площади всех 4 треугольников с вершинами в этих точках. может ли оказаться, что все полученные числа целые, а их сумма равна 215?
Если двугранные углы при основании равны. То, опустив все четыре апофемы и высоту пирамиды, найдем, что отрезки, соединяющие основание высоты пирамиды с основаниями апофем, равны по длине. Докажем это. Опустив одну апофему и проведя соответствующий отрезок, соединяющий высоту пирамиды и основание апофемы, найдем, что высота - это перпендикуляр, а апофема - это наклонная, причем эта наклонная перпендикулярна соответствующей стороне основания пирамиды, тогда по теореме обратной теореме "о трех перпендикулярах" найдем, что отрезок, соединяющий основание высоты и основание апофемы перпендикулярен стороне основания, и апофема и этот отрезок образуют линейный угол двугранного угла. Но т. к. по условию все двугранные углы равны, то равны и все отрезки, соединяющие основания высоты и апофем (это следует из равенства прямоугольных треугольников, каждый из которых составлен из высоты, апофемы и отрезка, соединяющего их основания). Что мы имеем? Т.к. указанные отрезки равны и перпендикулярны сторонам основания, то отсюда следует, что основание высоты пирамиды - это центр вписанной в основание окружности. Таким образом у нас есть две точки основания: центр вписанной окружности (он же - основание высоты пирамиды) и точка пересечения диагоналей основания. Нужно теперь доказать, что эти точки не совпадают. По условию, основанием является равнобокая трапеция. Высота этой трапеции - это диаметр вписанной окружности, отсюда можно заключить, что центр вписанной окружности, находится на одинаковом расстоянии от оснований трапеции. Для точки пересечения диагоналей этого сказать нельзя. Пусть ABCD - это данная равнобокая трапеция, являющаяся основанием данной в условии пирамиды. Причем AD - большее основание, BC - меньшее основание трапеции. Пусть т. F - точка пересечения диагоналей. Проведя диагонали трапеции AC и BD. Найдем, что треугольники AFD и CFB подобны по двум углам (накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущих BD и AC равны). Но коэффициент подобия этих треугольников не равен 1 (k = AD/BC, но AD>BC, поэтому AD/BC>1), то есть эти треугольники не равны, а значит неравны и их высоты, проведенные из т. F, что означает, что т. F не равноудалена от оснований трапеции, в отличии о центра вписанной в трапецию окружности. ЧТД.
Так как углы при основании АС равны (∠А =∠С), то △АВС - равнобедренный.
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны.
АВ=ВС.
2) Рассмотрим △BDC и △FDE.
BD=DF, CD= ED, ∠EDF =∠CDB - как вертикальные.
Следовательно △BDC = △FDE по двум сторонам и углу между ними ( первый признак равенства треугольников).
Из равенства треугольников следует равенство сторон: BC = EF.
Значит АВ=ВС=EF.
3) Рассмотрим △EHF и △KHF.
EH = KH, ∠EHF =∠KHF, HF - общая.
△EHF = △KHF по двум сторонам и углу между ними ( первый признак равенства треугольников).
Из равенства треугольников следует равенство сторон: EF = FK.
Значит АВ=ВС=EF = FK
Таким образом мы доказали, что АВ = FK
Для доказательства равенства двух отрезков использовали следующие :
Рассматривали эти отрезки как стороны двух треугольников, и доказывали, что эти треугольники равны. Рассматривали эти отрезки как стороны одного треугольника, и доказывали, что этот треугольник равнобедренный.
центр вписанной окружности (он же - основание высоты пирамиды) и точка пересечения диагоналей основания. Нужно теперь доказать, что эти точки не совпадают. По условию, основанием является равнобокая трапеция. Высота этой трапеции - это диаметр вписанной окружности, отсюда можно заключить, что центр вписанной окружности, находится на одинаковом расстоянии от оснований трапеции. Для точки пересечения диагоналей этого сказать нельзя. Пусть ABCD - это данная равнобокая трапеция, являющаяся основанием данной в условии пирамиды. Причем AD - большее основание, BC - меньшее основание трапеции. Пусть т. F - точка пересечения диагоналей. Проведя диагонали трапеции AC и BD. Найдем, что треугольники AFD и CFB подобны по двум углам (накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущих BD и AC равны). Но коэффициент подобия этих треугольников не равен 1 (k = AD/BC, но AD>BC, поэтому AD/BC>1), то есть эти треугольники не равны, а значит неравны и их высоты, проведенные из т. F, что означает, что т. F не равноудалена от оснований трапеции, в отличии о центра вписанной в трапецию окружности. ЧТД.
Объяснение:
1)Рассмотрим △АВС.
Так как углы при основании АС равны (∠А =∠С), то △АВС - равнобедренный.
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны.
АВ=ВС.
2) Рассмотрим △BDC и △FDE.
BD=DF, CD= ED, ∠EDF =∠CDB - как вертикальные.
Следовательно △BDC = △FDE по двум сторонам и углу между ними ( первый признак равенства треугольников).
Из равенства треугольников следует равенство сторон: BC = EF.
Значит АВ=ВС=EF.
3) Рассмотрим △EHF и △KHF.
EH = KH, ∠EHF =∠KHF, HF - общая.
△EHF = △KHF по двум сторонам и углу между ними ( первый признак равенства треугольников).
Из равенства треугольников следует равенство сторон: EF = FK.
Значит АВ=ВС=EF = FK
Таким образом мы доказали, что АВ = FK
Для доказательства равенства двух отрезков использовали следующие :
Рассматривали эти отрезки как стороны двух треугольников, и доказывали, что эти треугольники равны. Рассматривали эти отрезки как стороны одного треугольника, и доказывали, что этот треугольник равнобедренный.