Пирамида с высотой 9 рассечена плоскостью, параллельной основанию, на две части, объемы которых соотносятся как 1:7, считая от вершины. Найдите высоту отсеченной пирамиды.

Если прямая (DC),  параллельна какой-нибудь прямой (AB), расположенной в плоскости (α), то она параллельна самой плоскости. Если плоскость  проходит через прямую (DC), параллельную другой плоскости (α), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения (EF) параллельна первой прямой (DC).
Расстояние от прямой DC до плоскости α - это перпендикуляр из любой точки этой прямой на плоскость α.
Итак, в прямоугольном треугольнике АЕD катет АЕ равен по Пифагору
АЕ=√(AD²-DE²)=√(36²-18²)=18√3. 
Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения. То есть угол между плоскостью α и плоскостью квадрата - это угол EAD, cинус которого равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: Sinβ=ED/AD=18/36=1/2. Значит угол между плоскостями равен 30°.
Площадь проекции квадрата на плоскость α - это площадь прямоугольника AEFB, равная S=AB*AE=36*18√3=648√3см²

У прямоугольной трапеции 2 прямых угла, 1 тупой и 1 острый. Высота из тупого угла разбивает трапецию на прямоугольник и прямоугольный треугольник. Одна из сторон прямоугольника равна длине меньшего основания и равна 5. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 22-5=17, а так как острый угол этого треугольника - 45 градусов, второй катет также равен 17. Второй катет является высотой и второй стороной прямоугольника. Таким образом, площадь прямоугольника равна 5*17=85, а площадь треугольника 17*17/2=289/2=144.5. Значит, суммарная площадь равна 144.5+85=229.5