Точки M, N и К являются точками пересечения медиан боковых граней тетраэдра. Найдите площадь треугольника MNK, если площадь основания тетраэдра равна 36 см².
DE, DF и DG - медианы. Значит EF, EG и FG - средние линии треугольника АВС и равны половинам соответственных сторон треугольника АВС. => треугольник EFG подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия k = 1/2. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента их подобия =>
Sefg/Sabc =1/4. Sefg = (1/4)Sabc = 9cм².
Треугольники DEF и DMN, DFG и DNK, DEG и DMK подобны по признаку: "Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны", так как DM/DE = DN/DF = DK/DG = 2/3 (свойство точки пересечения медиан, которая делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины).
Следовательно, k = 2/3. =>
MN/EF = NK/FG = MK/EG = 2/3. =>
Треугольники MNK и EFG подобны по признаку : "Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны" с коэффициентом
Smnk = 4 см².
Объяснение:
Точки M, N и К являются точками пересечения медиан боковых граней тетраэдра. Найдите площадь треугольника MNK, если площадь основания тетраэдра равна 36 см².
DE, DF и DG - медианы. Значит EF, EG и FG - средние линии треугольника АВС и равны половинам соответственных сторон треугольника АВС. => треугольник EFG подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия k = 1/2. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента их подобия =>
Sefg/Sabc =1/4. Sefg = (1/4)Sabc = 9cм².
Треугольники DEF и DMN, DFG и DNK, DEG и DMK подобны по признаку: "Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны", так как DM/DE = DN/DF = DK/DG = 2/3 (свойство точки пересечения медиан, которая делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины).
Следовательно, k = 2/3. =>
MN/EF = NK/FG = MK/EG = 2/3. =>
Треугольники MNK и EFG подобны по признаку : "Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны" с коэффициентом
k1 = 2/3. =>
Smnk = (k1)²·Sefg = (4/9)·9 = 4 cм².
2,3 и 5 пары. Пруфы ниже.
Для 2-й пары:
PO=SO, RO=TO, угол ROS=угол TOP (как вертикальные углы)
треуг TOP = треуг ROS по первому признаку рав-ва треуг-ков (по 2 сторонам и углу между ними)
Для 3-й пары:
угол SPO = угол RPO
угол SOP = угол ROP
OP - общая сторона.
Треуг SOP = треуг ROP по 2-му признаку рав-ва треуг-ов (по стороне и 2 прилежащим к ней углам)
Для 5-й пары:
угол CDB = угол ABD
угол ADB = угол CBD
сторона BD общая
Значит, треуг BAD = треуг DCB по 2-му признаку (по стороне и 2-м прилежащим к ней углам)