Найдите площадь описанной около окружности правильного треугольника,если площадь вписанного в эту окружность квадрата равна 2√3 см².
Дано: S₁=2√3 см² (площадь квадрата вписанной в окружность ).
S = S(Δ) -? S =pr = (3a/2)*r , где a длина стороны правильного треугольника , r - радиус вписанной в треугольник окружности: r = a√3/ 6 ⇒ a =6r /√3 = (2√3) *r . Значит S = (3*2√3 / 2)*r² = (3√3)*r² . С другой стороны по условию площадь квадрата вписанной в окружность S₁= ( 2 r*2r)/2 = 2r² ⇒ r² = S₁/2. * * *или по другому S₁=b² =(r√2)² =2r² * * * Следовательно : S = (3√3)*r² = (3√3)*S₁/2=(3√3)*2√3/2 = 9 (см² ) .
1) Если боковые грани наклонены к основанию под углами α=60 и β=45 градусов, то боковое ребро как линия их пересечения наклонено под углом γ. Подставим значения тангенсов углов : tg60 = √3, tg45 = 1. tg γ = 1/√((1/3)+1) = √3/2 ≈ 0,866025. Высота параллелепипеда равна длине L бокового ребра, умноженного на синус угла его наклона. Синус угла можно выразить через тангенс: sin γ = tg γ /(1 + tg²γ) = √3/(2√1 + (3/4)) = √3/√7. Н = L*sin γ = 7*√3/√7 = 7* 0,654654 = 4,582576 см. Площадь основания равна So = 2*3 = 6 см². Объём равен V =So*H = 6* 4,582576 = 27,49545 см³.
Дано: S₁=2√3 см² (площадь квадрата вписанной в окружность ).
S = S(Δ) -?
S =pr = (3a/2)*r , где a длина стороны правильного треугольника , r - радиус вписанной в треугольник окружности: r = a√3/ 6 ⇒
a =6r /√3 = (2√3) *r . Значит S = (3*2√3 / 2)*r² = (3√3)*r² . С другой стороны по условию площадь квадрата вписанной в окружность S₁= ( 2 r*2r)/2 = 2r² ⇒ r² = S₁/2. * * *или по другому S₁=b² =(r√2)² =2r² * * *
Следовательно : S = (3√3)*r² = (3√3)*S₁/2=(3√3)*2√3/2 = 9 (см² ) .
ответ : 9 см² .
Подставим значения тангенсов углов : tg60 = √3, tg45 = 1.
tg γ = 1/√((1/3)+1) = √3/2 ≈ 0,866025.
Высота параллелепипеда равна длине L бокового ребра, умноженного на синус угла его наклона.
Синус угла можно выразить через тангенс:
sin γ = tg γ /(1 + tg²γ) = √3/(2√1 + (3/4)) = √3/√7.
Н = L*sin γ = 7*√3/√7 = 7* 0,654654 = 4,582576 см.
Площадь основания равна So = 2*3 = 6 см².
Объём равен V =So*H = 6* 4,582576 = 27,49545 см³.