Высота, проведенная из вершины прямого угла, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу: . Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, делит его на два подобных и подобных исходному треугольнику.
Высота, проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняя пропорциональная между отрезками гипотенузы, а каждый катет есть среднее пропорциональное между всей гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу. Доказательство. Вот наш прямоугольный треугольник ABC, вот его гипотенуза AB, вот высота CH, проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу. И вот отрезки, на которые высота делит гипотенузу: AH и BH. И нам надо доказать, что высота — это среднее пропорциональное между отрезками гипотенузы, то есть AH/CH = CH/BH, доказать, что каждый катет — это среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу, то есть AB/AC=AC/AH и AB/BC=BC/BH. Все эти три равенства следуют из подобия трёх изображённых треугольников ▲ACH, ▲BCH и исходного треугольника ▲ABC. Докажем сначала подобие ▲ACH и ▲ABC. У обоих этих треугольников равные прямые углы, и равные углы с кружком — то есть треугольники подобны по первому признаку, и третьи углы (с зубчиками) у них тоже равны. У треугольников ▲BCH и ▲ABC тоже равные прямые углы и равные углы с зубчиками — выходит, эти треугольники тоже подобны по первому признаку, и третьи углы (с кружком) у них тоже равны. У треугольников ▲ACH и ▲BCH тоже равные прямые углы и углы с кружком, и эти треугольники тоже подобны по первому признаку.
Подобие трёх треугольников доказано.
В подобных треугольниках ACH и BCH отношения короткого и длинного катетов равны — а это как раз наше первое равенство. В подобных треугольниках ACH и ABC отношения гипотенузы и короткого катета равны — это наше второе равенство.
В подобных треугольниках BCH и ABC отношения гипотенузы и длинного катета равны — и это наше третье равенство.
Задача прямо "просит" синусов... но, можно и без них... 2))) Sтреугольника = a*h/2 причем, высоту можно проводить к любой стороне треугольника... и поэтому становится интересен угол в 60 градусов --- ведь в прямоугольном треугольнике ему пара --- угол в 30 градусов... а катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы))) (это уже начало синусов --- sin(30) = 1/2 )))))) если проведем высоту к стороне 4V3 (((можно и к другой... рассуждения аналогичные, а ответ будет такой же... можно проверить...))), то один из катетов получится = 6/2 = 3, а второй катет (как раз высоту...))) можно найти по т.Пифагора: h^2 = 6^2 - 3^2 = (6-3)(6+3) = 3*9 = 27 S = 4V3 * V27 / 2 = 2*V3*V(3*9) = 2*3*3 = 18 1))) трапеция прямоугольная, => высота --- одна из ее боковых сторон... если провести вторую высоту, то получим прямоугольный треугольник с гипотенузой = 5*h/4 ((( h : x = 4:5))) и катетом = (b-a) = 9 и по т.Пифагора можно записать: (5*h/4)^2 = h^2 + 9^2 25*h^2 / 16 - h^2 = 81 9*h^2 / 16 = 81 h^2 / 16 = 9 h^2 = 16*9 h = 4*3 = 12 меньшая диагональ (13) образует, в свою очередь, прямоугольный треугольник с меньшим основанием... 13^2 = a^2 + h^2 13^2 = a^2 + 16*9 a^2 = 13^2 - 12^2 = (13-12)(13+12) = 25 a = 5 тогда большее основание b = a+9 = 5+9 = 14 Sтрапеции = (5+14)*12 / 2 = 19*6 = 114
Высота, проведенная из вершины прямого угла, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу: . Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, делит его на два подобных и подобных исходному треугольнику.
Высота, проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняя пропорциональная между отрезками гипотенузы, а каждый катет есть среднее пропорциональное между всей гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу. Доказательство. Вот наш прямоугольный треугольник ABC, вот его гипотенуза AB, вот высота CH, проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу. И вот отрезки, на которые высота делит гипотенузу: AH и BH. И нам надо доказать, что высота — это среднее пропорциональное между отрезками гипотенузы, то есть AH/CH = CH/BH, доказать, что каждый катет — это среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу, то есть AB/AC=AC/AH и AB/BC=BC/BH. Все эти три равенства следуют из подобия трёх изображённых треугольников ▲ACH, ▲BCH и исходного треугольника ▲ABC. Докажем сначала подобие ▲ACH и ▲ABC. У обоих этих треугольников равные прямые углы, и равные углы с кружком — то есть треугольники подобны по первому признаку, и третьи углы (с зубчиками) у них тоже равны. У треугольников ▲BCH и ▲ABC тоже равные прямые углы и равные углы с зубчиками — выходит, эти треугольники тоже подобны по первому признаку, и третьи углы (с кружком) у них тоже равны. У треугольников ▲ACH и ▲BCH тоже равные прямые углы и углы с кружком, и эти треугольники тоже подобны по первому признаку.
Подобие трёх треугольников доказано.
В подобных треугольниках ACH и BCH отношения короткого и длинного катетов равны — а это как раз наше первое равенство. В подобных треугольниках ACH и ABC отношения гипотенузы и короткого катета равны — это наше второе равенство.
В подобных треугольниках BCH и ABC отношения гипотенузы и длинного катета равны — и это наше третье равенство.
Равенства доказаны — а их и надо было доказать.
2))) Sтреугольника = a*h/2
причем, высоту можно проводить к любой стороне треугольника...
и поэтому становится интересен угол в 60 градусов --- ведь в прямоугольном треугольнике ему пара --- угол в 30 градусов...
а катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы)))
(это уже начало синусов --- sin(30) = 1/2 ))))))
если проведем высоту к стороне 4V3 (((можно и к другой... рассуждения аналогичные, а ответ будет такой же... можно проверить...))), то
один из катетов получится = 6/2 = 3, а второй катет (как раз высоту...)))
можно найти по т.Пифагора: h^2 = 6^2 - 3^2 = (6-3)(6+3) = 3*9 = 27
S = 4V3 * V27 / 2 = 2*V3*V(3*9) = 2*3*3 = 18
1))) трапеция прямоугольная, => высота --- одна из ее боковых сторон...
если провести вторую высоту, то получим прямоугольный треугольник с гипотенузой = 5*h/4 ((( h : x = 4:5))) и катетом = (b-a) = 9
и по т.Пифагора можно записать: (5*h/4)^2 = h^2 + 9^2
25*h^2 / 16 - h^2 = 81
9*h^2 / 16 = 81
h^2 / 16 = 9
h^2 = 16*9
h = 4*3 = 12
меньшая диагональ (13) образует, в свою очередь, прямоугольный треугольник с меньшим основанием... 13^2 = a^2 + h^2
13^2 = a^2 + 16*9
a^2 = 13^2 - 12^2 = (13-12)(13+12) = 25
a = 5
тогда большее основание b = a+9 = 5+9 = 14
Sтрапеции = (5+14)*12 / 2 = 19*6 = 114