Войти Регистрация Спроси ai-bota

Площадь прямоугольника треугольника равна 1, а радиус описанной около него окружности равен корень 5/2. Найдите косинус острого угла между медианами данного треугольника, проведёнными к его катетам.

Показать ответ

Ответ:

fantomac718

22.08.2021 13:43

$cos\alpha =\frac{5\sqrt{34} }{34}$

Объяснение:

Дано: Окр.OR-описанная

$R=\frac{\sqrt{5} }{2}$

ΔАВС - прямоугольный

$S_{ABC}=1$

ВК и СМ - медианы

Найти: cosα

1. Окр. OR - описана около ΔАВС ⇒СВ - диаметр (прямой угол опирается на диаметр)

$CB=2R=2*\frac{\sqrt{5} }{2}=\sqrt{5}$

2. Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный.

Пусть меньший катет = a, больший - b.

Тогда:

Площадь треугольника:

$S=\frac{1}{2}ab$

По теореме Пифагора:

a^2+b^2=BC^2

Составим систему:

$\left \{ {{\frac{1}{2}ab =1} \atop {a^2+b^2=5}} \right. \;\;\;\left \{ {{ab=2} \atop {a^+b^2=5}} \right.$

$a=\frac{2}{b}\\\frac{4}{b^2}+b^2=5\\4+b^4-5b^2 =0\\b^4-5b^2 +4 =0$

По теореме Виета:

$(b_1)^2=1\\(b_2)^2=4\\$

Или

$\left \{ {{b=2} \atop {a=1}} \right. \;\;\;\left \{ {{b=1} \atop {a=2}} \right.$

Тогда АС=1; АВ=2.

3. Рассмотрим ΔАВК - прямоугольный.

$AB=2;\;\;\;AK=\frac{1}{2}$ (ВК-медиана)

По т. Пифагора

$BK=\sqrt{4+\frac{1}{4} } =\frac{\sqrt{17} }{2}\\KP=\frac{1}{3}* \frac{\sqrt{17} }{2}=\frac{\sqrt{17} }{6}$ (св-во пересекающихся медиан)

4. Рассмотрим Δ МАС - прямоугольный.

$AC=1;\;\;\;AM=1$ (СМ-медиана)

По т. Пифагора

$CM=\sqrt{2}$

$CP=\frac{2}{3}\sqrt{2}$ (св-во пересекающихся медиан)

5. Рассмотрим ΔКРС

$KP=\frac{\sqrt{17} }{6};\;\;\;PC=\frac{2\sqrt{2} }{3};\;\;\;KC=\frac{1}{2}$

Используем теорему косинусов:

$a^2=b^2+c^2-2ab*cos\alpha$

Имеем

$KC^2=KP^2+PC^2-2*KP*PC*cos\alpha \\$

$\frac{1}{4}= \frac{17}{36}+\frac{8}{9}-2*\frac{\sqrt{17} }{6}*\frac{2\sqrt{2} }{3}*cos\alpha$

$cos\alpha =(\frac{17}{36}+\frac{32}{36}-\frac{9}{36}):\frac{2\sqrt{34} }{9}=\frac{40*9}{36*2\sqrt{34} } =\frac{5\sqrt{34} }{34}$

Площадь прямоугольника треугольника равна 1, а радиус описанной около него окружности равен корень 5

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Геометрия

NickMean

10.05.2022 09:19

Қосындысын табыңыз: 60 000 + 7 000 + 300 + 50 +9;...

ulyakiissaa

01.01.2020 18:02

Угла. 13. Начертите угол. Отметьте точки А, В, миN так, чтобы все точки отрезка АВ лежали внутри угла,а все точки отрезка MN лежали вне угла,14. Начертите неразвернутый...

noellajyli

27.02.2023 01:01

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках E и F соответственно. Если BEF = 65 °, EFC = 135 °, найдите углы треугольника...

khadija7

01.05.2021 01:02

Найдите x,y очень заранее благодарю )...

utrofimova06

20.02.2020 12:22

На отрезке AB, который пересекает плоскость (а), обозначили точку с так, что АС: ВС = 5: 3. Через точки А, В и С провели параллельные прямые, которые пересекают плоскость...

yasharks2013

15.02.2022 09:07

нужна Как можно быстрее.. найдите х...

KrASaVa307

08.11.2020 16:25

CL -биссектриса, она пересекает AB под углом 80°. Найти: угол A; угол B Очень...

vladd010703

13.06.2021 13:57

Являются ли векторы AB и CM коллинеарными, если C(5 -1 3) M(2 -2 4) A(1 -2 3) B(-5 -4 5)...

NastyaKoryak

21.09.2021 08:31

Укажить килькисть спиленных точек яки сична мае з колом...

little22elf

28.01.2022 09:04

2. Из центра окружности О к хорде АВ, проведен перпендикуляр ОС. Найдите длину хорды, если ОС=6 см, ОВА=450....

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку