РЕШЕНИЕ: сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, поэтому <В=90–60=30°
Катет АС, лежащий напротив него равен половине гипотенузы, поэтому гипотенуза АВ=2×4=8
ОТВЕТ: АВ=8
ЗАДАЧА 7
ДАНО: ∆АВС - прямоугольный, <С=90°, АС=ВС, СД=6
НАЙТИ: АВ
Если АС=ВС, то этот треугольник равнобедренный, а высота СД, проведённая из вершины прямого угла также является медианой и биссектрисой, а медиана, проведённая из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, поэтому СД=½АВ или АВ =2СД=2×6=12
РЕШЕНИЕ: МР делит катет АС пополам, поэтому АМ=СМ=10÷2=5.
МР является средней линией ∆АВС и если МР перпендикулярно АС, тогда он будет параллелен ВС. По свойствам средней линии треугольника МР=½ВС=½×10=5.
Можно также использовать средней линии, так как она является средней линией в равнобедренном треугольнике, а наш треугольник АВС именно равнобедренный, то МР отсекает от ∆АВС треугольник АРМ подобный ∆АВС. Поэтому ∆АРМ также является равнобедренным, у которого катеты АМ=РМ=5
Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, то <В в ∆АВС=90–30=60°. Поскольку ВК - биссектриса, то она делит <В пополам поэтому <СВК=<АВК=60÷2=30°
Рассмотрим ∆АВК. В нём <АВК=<А=30°, из чего следует что ∆АВК - равнобедренный, поэтому ВК=АК=8
Рассмотрим ∆СВК. Он прямоугольный, и ВС и СК - катеты, а ВК - гипотенуза. В нём <СВК=30°, а катет СК, лежащий напротив него равен половине гипотенузы ВК, поэтому СК=½×ВК=8÷2=4
1) Прямая САВ расположена под углом к плоскости α, поэтому все её размеры проецируются на плоскость α в меньшем размере (см. рисунок в прикреплении).
Геометрически это можно представить так (смотри правый рисунок): САВ - это гипотенуза треугольника, а С₁В₁ и ВВ₁ - его катеты, причем точки С и С₁ совпадают.
Важно, что СС₁║АА₁ ║ВВ₁, следовательно, получается 3 подобных треугольника, поэтому какие пропорции между точками С, А и В на гипотенузе, - точно такие же пропорции между точками С₁, А₁ и В₁ на катете С₁А₁В₁.
2) Длина САВ = СА + АВ = 3+7 = 10, а длина проекции С₁А₁В₁ = 5.
Это значит, что все размеры проекции в 2 раза меньше размеров отрезков прямой САВ:
10 : 5 = 2; полученное значение 2 - это коэффициент подобия.
3) Соответственно, чтобы найти А₁В₁, надо АВ разделить на коэффициент подобия 2:
Объяснение:
ЗАДАЧА 6
ДАНО: ∆АВС прямоугольный, <С=90°, <А=60°, АС=4
НАЙТИ: АВ
РЕШЕНИЕ: сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, поэтому <В=90–60=30°
Катет АС, лежащий напротив него равен половине гипотенузы, поэтому гипотенуза АВ=2×4=8
ОТВЕТ: АВ=8
ЗАДАЧА 7
ДАНО: ∆АВС - прямоугольный, <С=90°, АС=ВС, СД=6
НАЙТИ: АВ
Если АС=ВС, то этот треугольник равнобедренный, а высота СД, проведённая из вершины прямого угла также является медианой и биссектрисой, а медиана, проведённая из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, поэтому СД=½АВ или АВ =2СД=2×6=12
ОТВЕТ: АВ=12
ЗАДАЧА 8
ДАНО: ∆ АВС - прямоугольный, <А:<В=2:1, АВ=14, <С=90°
НАЙТИ: АС
РЕШЕНИЕ: сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°. Обозначим пропорции 2:1 как 2х и х и составим уравнение:
2х+х=90
3х=90
х=90÷3=30°
Итак: угол В=30°, тогда угол А=2×30=60°
Так как АС лежит напротив угла 30°, то АС=½АВ=½×14=7
ОТВЕТ: АС=7
ЗАДАЧА 9
ДАНО: ∆АВС прямоугольный: <С=90°, АС=ВС=10, АМ=СМ, МР перпендикулярно АС.
НАЙТИ: МР
РЕШЕНИЕ: МР делит катет АС пополам, поэтому АМ=СМ=10÷2=5.
МР является средней линией ∆АВС и если МР перпендикулярно АС, тогда он будет параллелен ВС. По свойствам средней линии треугольника МР=½ВС=½×10=5.
Можно также использовать средней линии, так как она является средней линией в равнобедренном треугольнике, а наш треугольник АВС именно равнобедренный, то МР отсекает от ∆АВС треугольник АРМ подобный ∆АВС. Поэтому ∆АРМ также является равнобедренным, у которого катеты АМ=РМ=5
ЗАДАЧА 10
ДАНО: ∆АВС - прямоугольный, <С=90°, <А=30°, ВК - биссектриса <В=8
НАЙТИ: АС
Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, то <В в ∆АВС=90–30=60°. Поскольку ВК - биссектриса, то она делит <В пополам поэтому <СВК=<АВК=60÷2=30°
Рассмотрим ∆АВК. В нём <АВК=<А=30°, из чего следует что ∆АВК - равнобедренный, поэтому ВК=АК=8
Рассмотрим ∆СВК. Он прямоугольный, и ВС и СК - катеты, а ВК - гипотенуза. В нём <СВК=30°, а катет СК, лежащий напротив него равен половине гипотенузы ВК, поэтому СК=½×ВК=8÷2=4
Итак: АК=8, СК=4.
Тогда АС=СК+АК=4+8=12
ОТВЕТ: АС=12
А₁В₁ = 3,5.
Объяснение:
1) Прямая САВ расположена под углом к плоскости α, поэтому все её размеры проецируются на плоскость α в меньшем размере (см. рисунок в прикреплении).
Геометрически это можно представить так (смотри правый рисунок): САВ - это гипотенуза треугольника, а С₁В₁ и ВВ₁ - его катеты, причем точки С и С₁ совпадают.
Важно, что СС₁║АА₁ ║ВВ₁, следовательно, получается 3 подобных треугольника, поэтому какие пропорции между точками С, А и В на гипотенузе, - точно такие же пропорции между точками С₁, А₁ и В₁ на катете С₁А₁В₁.
2) Длина САВ = СА + АВ = 3+7 = 10, а длина проекции С₁А₁В₁ = 5.
Это значит, что все размеры проекции в 2 раза меньше размеров отрезков прямой САВ:
10 : 5 = 2; полученное значение 2 - это коэффициент подобия.
3) Соответственно, чтобы найти А₁В₁, надо АВ разделить на коэффициент подобия 2:
А₁В₁ = АВ : 2 = 7 : 2 = 3,5.
ответ: А₁В₁ = 3,5.