Примем высоту трапеции "h", верхнее основание "а", нижнее "в".
Боковые стороны равны 2h,как лежащие против угла в 30 градусов. Сторона в = а + 2(2h*cos30°) = a + 2(2h*(√3/2) = a + 2h√3. Площадь S = ((a + a + 2h√3)/2)*h = (a + h√3)*h = ah + h²√3. По заданию ah + h²√3 = 200. Отсюда сторона а = (200 - h²√3)/h. Периметр Р = 2*(2h) + a + a + 2h√3. Подставим вместо а её значение относительно h. P = 4h + 2h√3 + 2((200 - h²√3)/h) = (4h² + 400)/h. Производная функции равна: dP/dh = (4h² - 400)/h². Приравниваем нулю (достаточно числитель): 4h² - 400 = 0, h = √(400/4) = √100 = 10. Это значение высоты трапеции при минимальном периметре. Сам периметр равен: Р = (4*10² + 400)/10 = 800/10 = 80.
Боковые стороны равны 2h,как лежащие против угла в 30 градусов.
Сторона в = а + 2(2h*cos30°) = a + 2(2h*(√3/2) = a + 2h√3.
Площадь S = ((a + a + 2h√3)/2)*h = (a + h√3)*h = ah + h²√3.
По заданию ah + h²√3 = 200.
Отсюда сторона а = (200 - h²√3)/h.
Периметр Р = 2*(2h) + a + a + 2h√3.
Подставим вместо а её значение относительно h.
P = 4h + 2h√3 + 2((200 - h²√3)/h) = (4h² + 400)/h.
Производная функции равна: dP/dh = (4h² - 400)/h².
Приравниваем нулю (достаточно числитель):
4h² - 400 = 0,
h = √(400/4) = √100 = 10.
Это значение высоты трапеции при минимальном периметре.
Сам периметр равен: Р = (4*10² + 400)/10 = 800/10 = 80.