Пусть A1, B1 и C1 — середины BC, AC и AB соответственно, O — центр данной окружности, $ \angle$ACB = $ \alpha$.
Поскольку $ \angle$A1C1B1 = $ \angle$ACB = $ \alpha$, то треугольник A1B1C1 равен треугольнику B1A1C. Следовательно, радиусы данной окружности и окружности, описанной около треугольника A1B1C, равны.
Пусть прямая OC пересекает вторую окружность в точке M. Тогда MA1 = MB1 и OA1 = OB1. Поэтому, если точки O и M не совпадают, то OC $ \perp$ A1B1, а т.к. CO — биссектриса угла ACB, то CA1 = CB1 и AC = BC = 4. В этом случае
AC + BC = 4 + 4 = 8 < 2$\displaystyle \sqrt{19}$ = AB,
что невозможно. Значит, предположение о том, что точки M и O совпадают, не верно.
Таким образом, центр второй окружности лежит на первой. Тогда
1. 113*, 67*, 113*.
2. 14 см.
3. 7 см, 11 см, 7 см, 11 см.
4. 16 см, 10 см.
Объяснение:
АВСВ - параллелограмм. угол А=67*.
Знаем, что сумма углов прилежащих к одной стороне параллелограмма равна 180*.
∠В=180*-67*=113*.
Противоположные углы в параллелограмме равны:
∠А=∠С=67*; ∠В=∠D=113*.
***
Средняя линия трапеции находится по формуле:
MN=(BC+AD)/2;
18=(BC+22)/2;
BC+22=36;
BC=36-22;
BC=14 см.
***
3. Пусть меньшая сторона параллелограмма равна х см. Тогда большая сторона равна х+4 см.
Периметр Р = 2(a+b). где а=х см, а b=x+4 см.
2(х+х+4)=36;
2х+4= 18;
2х=14;
х=7 см - меньшая сторона.
Большая сторона равна х+4=7+4=11 см.
***
4. Из Δ ABK AB=BK/Sin30*=8/(1/2)=16 см.
Р ABCD=2(AB+BC)=52;
2(16+BC)=52;
16+BC=26;
BC=26-16=10 см.
Пусть A1, B1 и C1 — середины BC, AC и AB соответственно, O — центр данной окружности, $ \angle$ACB = $ \alpha$.
Поскольку $ \angle$A1C1B1 = $ \angle$ACB = $ \alpha$, то треугольник A1B1C1 равен треугольнику B1A1C. Следовательно, радиусы данной окружности и окружности, описанной около треугольника A1B1C, равны.
Пусть прямая OC пересекает вторую окружность в точке M. Тогда MA1 = MB1 и OA1 = OB1. Поэтому, если точки O и M не совпадают, то OC $ \perp$ A1B1, а т.к. CO — биссектриса угла ACB, то CA1 = CB1 и AC = BC = 4. В этом случае
AC + BC = 4 + 4 = 8 < 2$\displaystyle \sqrt{19}$ = AB,
что невозможно. Значит, предположение о том, что точки M и O совпадают, не верно.
Таким образом, центр второй окружности лежит на первой. Тогда
$\displaystyle \angle$A1OB1 + $\displaystyle \angle$A1CB1 = 180o,
т.е.
2$\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \alpha$ = 180o, $\displaystyle \alpha$ = 60o.
Обозначим AC = x. Тогда по теореме косинусов
x2 + 16 - 4x = (2$\displaystyle \sqrt{19}$)2.
Из этого уравнения находим, что x = 10.
ответ
10.
Объяснение: